Calcule o comprimento da curva definida pela função vetorial:
r(t)=cos (t) i+sen(t) j+e^-t k, 0 <= t <= pi

Passo 1

Neste exercício queremos o comprimento de arco de vec r(t)=cos t,vec i+sin t,vec j+e^-t,vec k no intervalo 0<= t<=pi. Vamos usar a fórmula de comprimento de curva paramétrica L=integrala^b |vec r,'(t)|,dt.

Passo 2

Calcula-se a derivada componente a componente. Derivando cos t, sin t e e^-t, obtemos vec r,'(t)=(-sin t),vec i+(cos t),vec j+(-e^-t),vec k.

Passo 3

A norma de vec r,'(t) é
|vec r,'(t)| =raiz(-sin t)^2+(cos t)^2+(-e^-t)^2 =raizsin^2t+cos^2t+e^-2t =raiz1+e^-2t

Passo 4

Portanto o comprimento de arco fica
L=integral0^piraiz1+e^-2t,dt

Passo 5

Fazemos a substituição u=e^-t, o que dá du=-e^-tdt=-u,dt e dt=-tfracduu. Quando t=0 temos u=1 e quando t=pi temos u=e^-pi. Assim
L=integralu=1^u=e^-piraiz1+u^2,l(-tfracduur) =integrale^-pi^1raiz1+u^2u,du

Passo 6

Para integrar integralraiz1+u^2udu, usamos a antiderivada padrão:
integralraiz1+u^2u,du =raiz1+u^2-ln!l(1+raiz1+u^2ur)+C

Passo 7

Avaliando essa primitiva de u=e^-pi até u=1, obtemos
L =l[raiz1+u^2-ln!tfrac1+raiz1+u^2ur]e^-pi^1 =raiz2-raiz1+e^-2pi -ln(1+raiz2)+ln!l(1+raiz1+e^-2pir)-pi

Passo 8

Por fim, agrupando os logaritmos:
-ln(1+raiz2)+ln!l(1+raiz1+e^-2pir) =ln!l(1+raiz1+e^-2pi1+raiz2r),
chegamos à forma final abaixo.

Resposta

L=raiz2-raiz1+e^-2pi-pi+ln!l(1+raiz1+e^-2pi1+raiz2r).

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