Usando a regra da cadeia bem como as propriedades de derivadas encontre as derivadas das funções abaixo
(F(x)=\frac{x}{\sqrt{2 x+3}}\

Passo 1

Nesse exercício, a função é F(x)=xraiz2x+3. Estamos no tópico de derivadas de funções compostas e quocientes, então vamos usar a regra do quociente (ou, equivalentemente, produto com potência) junto com a regra da cadeia e propriedades de derivadas.

Passo 2

Primeiro, para facilitar o uso da regra do produto e da cadeia, reescrevemos F(x) como produto de potências:
F(x)=x,(2x+3)^-tfrac12

Passo 3

Agora aplicamos a regra do produto: se u(x)=x e v(x)=(2x+3)^-1/2, então
F'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) Calculamos cada derivada:
  • u'(x)=1.
  • Para v(x)=(2x+3)^-1/2, usamos a regra da cadeia: v'(x)=-tfrac12,(2x+3)^-3/2cdot(2x+3)'=-tfrac12,(2x+3)^-3/2cdot2=- (2x+3)^-3/2

Passo 4

Substituindo em F'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x), obtemos:
F'(x)=(1),(2x+3)^-1/2+x,[-(2x+3)^-3/2]
Portanto,
F'(x)=(2x+3)^-1/2-x,(2x+3)^-3/2

Passo 5

Por fim, colocamos em forma fatorada para simplificar a expressão. Fator comum (2x+3)^-3/2:
F'(x)=(2x+3)^-3/2l((2x+3)-xr)=(2x+3)^-3/2(x+3)

Resposta

F'(x)=x+3(2x+3)^3/2

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