Usando a regra da cadeia bem como as propriedades de derivadas encontre as derivadas das funções abaixo
(f(t)=\frac{(1+2 t)^{5}}{\left(3 t{2}-5\right){2}}\

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(t)=(1+2t)^5(3t^2-5)^2
Conteúdo: derivada de quociente e regra da cadeia. Vamos precisar identificar duas funções auxiliares e aplicar a regra do quociente, usando cadeia para cada uma.

Passo 2

Primeiro definimos u(t)=(1+2t)^5 e v(t)=(3t^2-5)^2. Para u(t) aplicamos a cadeia: derivada de x^5 é 5x^4 vezes a derivada de x=1+2t, que é 2. Logo,
u'(t)=5(1+2t)^4cdot 2=10(1+2t)^4

Passo 3

Para v(t) também usamos a cadeia: derivada de y^2 é 2y vezes a derivada de y=3t^2-5, que é 6t. Então,
v'(t)=2(3t^2-5)cdot 6t=12t(3t^2-5)

Passo 4

Aplicamos agora a regra do quociente:
$$f’(t)=\frac{u’(t)v(t)-u(t)v’(t)}{[v(t)]^2}.
f'(t)=u'(t)v(t)-u(t)v'(t)[v(t)]^2 f’(t)=\frac{10(1+2t)4(3t2-5)^2 - (1+2t)^5\cdot 12t(3t2-5)}{(3t2-5)^4}.$$

Passo 5

Para simplificar, fatoramos (1+2t)^4(3t^2-5) no numerador e cancelamos um fator embaixo:
$$f’(t)=\frac{(1+2t)4(3t2-5)\bigl[10(3t2-5)-12t(1+2t)\bigr]}{(3t2-5)^4}=
\frac{(1+2t)4\bigl(6t2-12t-50\bigr)}{(3t2-5)3}.$$

Passo 6

Com isso chegamos à forma simplificada da derivada sem repetir como passo separado.

Resposta

f'(t)=(1+2t)^4l(6t^2-12t-50r)(3t^2-5)^3

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