Usando a regra da cadeia bem como as propriedades de derivadas encontre as derivadas das funções abaixo

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função abaixo:
G(x) = (x^4 - x + 1)^2,(x^2 - 2)^3
O conteúdo necessário é a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos
u(x) = (x^4 - x + 1)^2, v(x) = (x^2 - 2)^3
e aplicamos a regra do produto:
G'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

Passo 3

Para derivar u(x), usamos a regra da cadeia. Se u(x) = [f(x)]^2 com f(x) = x^4 - x + 1, então:
u'(x) = 2,f(x),f'(x) = 2,(x^4 - x + 1),(4x^3 - 1)

Passo 4

Para derivar v(x), também usamos a regra da cadeia. Se v(x) = [g(x)]^3 com g(x) = x^2 - 2, então:
v'(x) = 3,[g(x)]^2,g'(x) = 3,(x^2 - 2)^2,(2x) = 6x,(x^2 - 2)^2

Passo 5

Substituindo u, u', v, v' na regra do produto, obtemos:
G'(x) = 2,(x^4 - x + 1),(4x^3 - 1),(x^2 - 2)^3 + (x^4 - x + 1)^2,6x,(x^2 - 2)^2

Passo 6

Podemos fatorar 2,(x^4 - x + 1),(x^2 - 2)^2 em evidência:
G'(x) = 2,(x^4 - x + 1),(x^2 - 2)^2l[(4x^3 - 1)(x^2 - 2) + 3x,(x^4 - x + 1)r]
Expandindo a soma interna, chega-se a
G'(x) = 2,(x^4 - x + 1),(x^2 - 2)^2,(7x^5 - 8x^3 - 4x^2 + 3x + 2)

Resposta

G'(x) = 2,(x^4 - x + 1),(x^2 - 2)^2,(7x^5 - 8x^3 - 4x^2 + 3x + 2)

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