Usando a regra da cadeia bem como as propriedades de derivadas encontre as derivadas das funções abaixo

Passo 1

O exercício pede a derivada da função g(x)=l((x+2)/(x-2)r)^3, envolvendo regra da cadeia e regra do quociente.

Passo 2

Vamos definir duas funções intermediárias: u(x)=x+2x-2 e h(u)=u^3. Assim g(x)=h(u(x)) e, pela regra da cadeia, g'(x)=h'(u(x))cdot u'(x).

Passo 3

Calculando h'(u): como h(u)=u^3, temos h'(u)=3u^2. Logo, h'(u(x))=3l(x+2x-2r)^2.

Passo 4

Agora vamos achar u'(x) usando a regra do quociente para u(x)=N(x)D(x) onde N(x)=x+2, D(x)=x-2. Temos
u'(x)=N'(x)D(x)-N(x)D'(x)[D(x)]^2=1cdot(x-2)-(x+2)cdot1(x-2)^2=x-2-x-2(x-2)^2=-4(x-2)^2

Passo 5

Multiplicando pelas derivadas encontradas:
g'(x)=3l(tfracx+2x-2r)^2cdotl(-tfrac4(x-2)^2r)=-12(x+2)^2(x-2)^4

Passo 6

Portanto, a derivada está simplificada como -12(x+2)^2/(x-2)^4.

Resposta

g’(x) = -12,\dfrac{(x+2)2}{(x-2)4}

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