Usando a regra da cadeia bem como as propriedades de derivadas encontre as derivadas das funções abaixo
(y=\frac{(2 x+3)^{3}}{\sqrt{4 x-7}}\

Passo 1

O exercício pede para derivar a função usando a regra da cadeia e propriedades de derivadas. O conteúdo é derivação de funções compostas e produtos, e vamos precisar reescrever a função de modo a usar product rule (regra do produto) junto com chain rule (regra da cadeia).

Passo 2

Reescrevemos a função como um produto de duas partes fáceis de derivar: u(x)=(2x+3)^3 e v(x)=(4x-7)^{-1/2}, pois 1/√{4x−7}=(4x−7)^{-1/2}. Assim temos y = u(x)·v(x).

Passo 3

Derivamos cada parte usando a regra da cadeia. Para u(x)=(2x+3)^3, tomamos a função externa f(t)=t^3 e interna t=2x+3, logo u’(x)=3(2x+3)2·(2)=6(2x+3)2. Para v(x)=(4x-7)^{-1/2}, a função externa é g(t)=t^{-1/2} e interna t=4x−7, logo v’(x)=(-1/2)(4x-7)^{-3/2}·4= -2(4x-7)^{-3/2}.

Passo 4

Aplicamos a regra do produto: y’ = u’(x)v(x) + u(x)v’(x). Substituindo u, u’, v e v’ temos
[y’ = 6(2x+3)2,(4x-7){-1/2}
\quad{}+ (2x+3)3,\bigl[-2(4x-7){-3/2}\bigr].

Passo 5

Fatoramos o máximo de termos comuns para simplificar: tanto em ambos os termos aparece (2x+3)^2 e (4x-7)^{-3/2}. Fatorando, obtemos
[y’=(2x+3)2,(4x-7){-3/2}\bigl[6(4x-7)-2(2x+3)\bigr].
Calculamos o que está entre colchetes: 6(4x−7)=24x−42 e 2(2x+3)=4x+6, então a diferença é 24x−42−(4x+6)=20x−48=4(5x−12). Finalmente,
[y’=4(2x+3)2(5x-12),(4x-7){-3/2}.
]

Resposta

y'=4(2x+3)^2(5x-12)(4x-7)^3/2

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