Calcule o comprimento da curva y=x^3 / 2, de x=0 a x=5. (Escreva a resposta com erro inferior a 0,0ו)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o comprimento da curva y = x^3/2 no intervalo de x = 0 a x = 5 . Para isso, vamos usar o cálculo de comprimento de arco, que envolve derivadas e integrais. Não se preocupa se isso parece complicado agora, vou te explicar passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para o comprimento de uma curva y = f(x) de x = a a x = b :
L = integrala^b raiz1 + (dydx)^2 , dx
Ou seja, a gente precisa integrar a raiz quadrada de 1 mais o quadrado da derivada da função em relação a x .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de y = x^3/2 em relação a x :
dydx = 32 x^1/2
Isso significa que a inclinação da curva em cada ponto x é 32 vezes a raiz quadrada de x .

Passo 4

Em seguida, calculamos o quadrado dessa derivada:
(dydx)^2 = (32 x^1/2)^2 = 94 x
Então, (dydx)^2 = 94 x .

Passo 5

Agora, somamos 1 a esse resultado dentro da raiz da fórmula do comprimento:
1 + (dydx)^2 = 1 + 94 x = 4 + 9x4
Portanto, a expressão dentro da raiz fica 4 + 9x4 .

Passo 6

A próxima etapa é tirar a raiz quadrada dessa expressão:
raiz1 + (dydx)^2 = raiz4 + 9x4 = raiz4 + 9x2
Assim, nossa integral para o comprimento fica:
L = integral0^5 raiz4 + 9x2 , dx

Passo 7

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição:
Seja t = 4 + 9x , então dt = 9 , dx ou dx = dt9 .
Substituindo na integral:
L = integral raizt2 cdot dt9 = 118 integral raizt , dt

Passo 8

Agora, integramos raizt :
integral raizt , dt = 23 t^3/2
Portanto:
L = 118 cdot 23 t^3/2 + C = t^3/227 + C
Onde C é a constante de integração, que vamos descartar porque estamos calculando um valor definido.

Passo 9

Voltando à variável original x :
t = 4 + 9x
Então,
L = (4 + 9x)^3/227 |0^5

Passo 10

Agora, substituímos os limites de integração:
Para x = 5 :
4 + 9(5) = 49 Rightarrow 49^3/2 = raiz49^3 = raiz117649 = 343
Para x = 0 :
4 + 9(0) = 4 Rightarrow 4^3/2 = raiz4^3 = raiz64 = 8

Passo 11

Subtraindo os valores:
L = 343 - 827 = 33527 approx 12,41

Resposta

O comprimento da curva y = x^3/2 de x = 0 a x = 5 é aproximadamente 12,41 unidades.

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