Calcule o comprimento da curva , de a . (Escreva a resposta com erro inferior a 0,0ו)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o comprimento da curva no intervalo de a . Para isso, vamos usar o cálculo de comprimento de arco, que envolve derivadas e integrais. Não se preocupa se isso parece complicado agora, vou te explicar passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para o comprimento de uma curva de a :
Ou seja, a gente precisa integrar a raiz quadrada de mais o quadrado da derivada da função em relação a .
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a :
Isso significa que a inclinação da curva em cada ponto é vezes a raiz quadrada de .
Passo 4
Em seguida, calculamos o quadrado dessa derivada:
Então, .
Passo 5
Agora, somamos 1 a esse resultado dentro da raiz da fórmula do comprimento:
Portanto, a expressão dentro da raiz fica .
Passo 6
A próxima etapa é tirar a raiz quadrada dessa expressão:
Assim, nossa integral para o comprimento fica:
Passo 7
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição:
Seja , então ou .
Substituindo na integral:
Passo 8
Agora, integramos :
Portanto:
Onde é a constante de integração, que vamos descartar porque estamos calculando um valor definido.