Desenhar algumas curvas de nível e esboçar o gráfico:
t=4-m^2-n^2

Passo 1

A função dada é t = 4 - m^2 - n^2. O conteúdo aqui é curvas de nível de uma função de duas variáveis e o esboço do gráfico 3D. Vamos usar o conceito de nível t = constante para encontrar as curvas de nível e depois imaginar a forma da superfície.

Passo 2

Para desenhar as curvas de nível, fixamos t = k e escrevemos
k = 4 - m^2 - n^2
e então rearranjamos para
m^2 + n^2 = 4 - k Isso mostra que, para cada valor de nível k <= 4, a curva de nível é um círculo de raio raiz4 - k centrado na origem do plano (m,n).

Passo 3

Escolhendo alguns níveis comuns, por exemplo k = 4,3,2,1,0, obtemos raios
r4=0, r3=1, r2=raiz2, r1=raiz3, r0=2 No plano (m,n) desenhamos esses círculos concêntricos de raios 0,1,raiz2,raiz3,2.

Passo 4

Para esboçar o gráfico 3D, notamos que t = 4 - m^2 - n^2 é um paraboloide circular voltado para baixo com vértice em (0,0,4). À medida que m^2+n^2 aumenta, t decresce, formando camadas circulares.
O gráfico tem seu ponto mais alto em (m,n,t)=(0,0,4) e vai caindo simetricamente em todas as direções formando uma “tigela invertida”.

Resposta

As curvas de nível são círculos centrados em (0,0) de raio raiz4-k para cada nível t=k<=4. O gráfico é um paraboloide circular voltado para baixo, com vértice em (0,0,4) e descendo conforme m^2+n^2 cresce.

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