Usando o Teorema de Gauss, calcule o fluxo do campo
através da superfície
orientada positivamente onde
e
é a fronteira do sólido
limitado pelo cilindro parabólico
e pelos planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Gauss, também conhecido como Teorema da Divergência. O que a gente precisa encontrar é o fluxo do campo vetorial
através da superfície
, que é a fronteira do sólido
. Esse sólido
é limitado pelo cilindro parabólico
e pelos planos
,
e
.
Pra resolver isso, vamos precisar calcular a divergência do campo
e depois integrar essa divergência sobre o volume
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência do campo
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Então, aplicando isso ao nosso
:
Calculando cada derivada:
Então, a divergência fica:
Passo 3
Agora, precisamos configurar a integral tripla sobre o volume
da divergência
. Para isso, vamos entender os limites de integração.
O sólido
é limitado por:
- O cilindro parabólico
. - O plano
(base). - O plano
. - O plano
.
Vamos determinar os limites para
,
e
.
Primeiro, observamos que
varia de
até
.
Para
, no plano
, substituindo
, temos
.
Então,
varia de
até
.
Finalmente, para
, observamos que
, então
, ou seja,
varia de
até
.
Passo 4
Agora que temos os limites, vamos montar a integral tripla para calcular o fluxo:
Em coordenadas cartesianas, isso fica:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, a integral fica:
Passo 5
Continuando, vamos integrar em relação a
:
Simplificando:
Agora, a integral fica:
Passo 6
Vamos expandir o termo
:
Então, multiplicando por
:
Agora, a integral fica:
Passo 7
Vamos integrar termo a termo:
Substituindo na integral:
Passo 8
Vamos calcular dentro dos parênteses:
Na verdade, vamos encontrar um denominador comum, que é 105:
Então:
Passo 9
Agora, multiplicamos pelo fator externo:
Resposta
O fluxo do campo
através da superfície
é
, aproximadamente
.