2,0 Usando o Teorema de Gauss, calcule o fluxo do campo F através da superfície sigma orientada positivamente onde F(x, y, z) = x y i + (y^2 + e^(x z^2)) j + sen(x y) k e sigma é a fronteira do sólido B limitado pelo cilindro parabólico z = 1 - x^2 e pelos planos z=0, y=0 e y + z = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Gauss, também conhecido como Teorema da Divergência. O que a gente precisa encontrar é o fluxo do campo vetorial através da superfície , que é a fronteira do sólido . Esse sólido é limitado pelo cilindro parabólico e pelos planos , e .
Pra resolver isso, vamos precisar calcular a divergência do campo e depois integrar essa divergência sobre o volume .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo . A divergência de um campo vetorial é dada por:
Então, aplicando isso ao nosso :
Calculando cada derivada:
ã
Então, a divergência fica:

Passo 3

Agora, precisamos configurar a integral tripla sobre o volume da divergência . Para isso, vamos entender os limites de integração.
O sólido é limitado por:
  1. O cilindro parabólico .
  2. O plano (base).
  3. O plano .
  4. O plano .
Vamos determinar os limites para , e .
Primeiro, observamos que varia de até .
Para , no plano , substituindo , temos .
Então, varia de até .
Finalmente, para , observamos que , então , ou seja, varia de até .

Passo 4

Agora que temos os limites, vamos montar a integral tripla para calcular o fluxo:
Em coordenadas cartesianas, isso fica:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral fica:

Passo 5

Continuando, vamos integrar em relação a :
Simplificando:
Agora, a integral fica:

Passo 6

Vamos expandir o termo :
Então, multiplicando por :
Agora, a integral fica:

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:
Substituindo na integral:

Passo 8

Vamos calcular dentro dos parênteses:
Na verdade, vamos encontrar um denominador comum, que é 105:
Então:

Passo 9

Agora, multiplicamos pelo fator externo:

Resposta

O fluxo do campo através da superfície é , aproximadamente .

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