(2,5) Dado o campo vetorial
:
(b) Determine
onde
é o contorno do plano
que está no primeiro octante.
(b) Determine
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos um campo vetorial
e precisamos calcular a integral de linha
, onde
é o contorno do plano
no primeiro octante. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao fluxo de sua rotacional através de uma superfície limitada por
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a superfície
limitada por
. O plano
no primeiro octante forma um triângulo com os eixos coordenados. Os pontos de interseção com os eixos são:
- Quando
e : . - Quando
e : . - Quando
e : .
Passo 3
Agora, vamos calcular a rotacional de
, que é
. A rotacional de um campo vetorial
é dada por:
Para
:
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Passo 4
Para aplicar o Teorema de Stokes, precisamos calcular o fluxo da rotacional de
através da superfície
. A fórmula do teorema é:
Onde
é o vetor normal à superfície
. Primeiro, encontramos o vetor normal ao plano
. Os coeficientes de
,
e
no plano dão diretamente o vetor normal:
Passo 5
Agora, normalizamos o vetor normal
:
Então, o vetor unitário normal é:
Passo 6
Calculamos o produto escalar da rotacional de
com o vetor normal
:
Passo 7
A área da superfície
, que é o triângulo no primeiro octante, pode ser encontrada usando a fórmula da área de um triângulo com vértices em
,
e
. A área é:
Passo 8
Finalmente, aplicamos o Teorema de Stokes:
Resposta
A integral de linha
é igual a -16.