(2,5) Dado o campo vetorial F(x, y, z)=e^x^2 i+(x+z) j+(2 x-z) k :
(b) Determine integralC F cdot d r onde C é o contorno do plano x+2 y+z=4 que está no primeiro octante.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos um campo vetorial e precisamos calcular a integral de linha , onde é o contorno do plano no primeiro octante. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao fluxo de sua rotacional através de uma superfície limitada por .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a superfície limitada por . O plano no primeiro octante forma um triângulo com os eixos coordenados. Os pontos de interseção com os eixos são:
  • Quando e : .
  • Quando e : .
  • Quando e : .

Passo 3

Agora, vamos calcular a rotacional de nabla times F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z )i + ( partial Ppartial z - partial Rpartial x )j + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y )k , que é partial Rpartial y = 0, partial Qpartial z = 1 . A rotacional de um campo vetorial partial Ppartial z = 0, partial Rpartial x = 2 é dada por:
partial Qpartial x = 1, partial Ppartial y = 0
Para nabla times F = (0 - 1)i + (0 - 2)j + (1 - 0)k = -i - 2,j + k :
Calculando as derivadas parciais:
Então,

Passo 4

Para aplicar o Teorema de Stokes, precisamos calcular o fluxo da rotacional de integralC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS através da superfície n = i + 2,j + k . A fórmula do teorema é:
Onde é o vetor normal à superfície . Primeiro, encontramos o vetor normal ao plano . Os coeficientes de , e no plano dão diretamente o vetor normal:

Passo 5

Agora, normalizamos o vetor normal |n| = raiz1^2 + 2^2 + 1^2 = raiz6 :
n = 1raiz6,i + 2raiz6,j + 1raiz6,k
Então, o vetor unitário normal é:

Passo 6

Calculamos o produto escalar da rotacional de (nabla times F) cdot n = (-1)(1) + (-2)(2) + (1)(1) = -1 - 4 + 1 = -4 com o vetor normal :

Passo 7

A área da superfície Área = 12 times Base times A, que é o triângulo no primeiro octante, pode ser encontrada usando a fórmula da área de um triângulo com vértices em , e . A área é:
Á

Passo 8

Finalmente, aplicamos o Teorema de Stokes:
integralC F cdot dr = (nabla times F) cdot n times Área = (-4) times 4 = -16 Á

Resposta

A integral de linha é igual a -16.

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