(2) Encontre uma parametrização para a curva cujas coordenadas satisfazem (x-2)^{2}+(y-1)^{2}=16. Em seguida, determine a equação da reta tangente a curva em (-2,1).

Passo 1

O enunciado pede primeiro uma parametrização da curva definida por (x-2)^{2}+(y-1)^{2}=16, que é um círculo de centro (2,1) e raio 4. Em seguida, quer a equação da reta tangente a esse círculo no ponto (-2,1). O conteúdo usado será: (1) parametrização de curvas planas, especialmente círculo, e (2) construção da reta tangente via vetor derivada da parametrização.

Passo 2

Uma parametrização padrão de um círculo de centro (x_{0},y_{0}) e raio R é
x(t)=x_{0}+R\cos t, \quad y(t)=y_{0}+R\sin t,
com t variando em [0,2\pi). Aqui x_{0}=2, y_{0}=1 e R=4. Logo podemos tomar
x(t)=2+4\cos t, \quad y(t)=1+4\sin t.

Passo 3

Para achar o valor de t que corresponde ao ponto (-2,1), resolvemos
2+4\cos t=-2 \quad\Longrightarrow\quad \cos t=-1 \quad\Longrightarrow\quad t=\pi.
Verificamos que
y(\pi)=1+4\sin\pi=1+0=1,
coerente com o ponto dado.

Passo 4

Definimos o vetor posição
\mathbf{r}(t)=\bigl(x(t),y(t)\bigr) =(\,2+4\cos t,\;1+4\sin t\,).
A derivada em relação a t é
\mathbf{r}'(t)=\bigl(-4\sin t,\;4\cos t\bigr).
Em t=\pi obtemos
\mathbf{r}'(\pi)=\bigl(-4\sin\pi,\;4\cos\pi\bigr) =(0,\,-4).
Esse vetor indica a direção da reta tangente.

Passo 5

A reta tangente no ponto \mathbf{r}(\pi)=(-2,1) pode ser escrita em forma vetorial como
\ell(s)=(-2,1)+s\,(0,-4).
Como o vetor direção é (0,-4), trata-se de uma reta vertical em x=-2. Em forma cartesiana:
x=-2.

Resposta

A parametrização da curva é
x(t)=2+4\cos t, \quad y(t)=1+4\sin t, \quad t\in[0,2\pi).
A equação da reta tangente em (-2,1) é
x=-2.

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