(2) Encontre uma parametrização para a curva cujas coordenadas satisfazem
. Em seguida, determine a equação da reta tangente a curva em
.
Passo 1
O enunciado pede primeiro uma parametrização da curva definida por
, que é um círculo de centro
e raio
. Em seguida, quer a equação da reta tangente a esse círculo no ponto
. O conteúdo usado será: (1) parametrização de curvas planas, especialmente círculo, e (2) construção da reta tangente via vetor derivada da parametrização.
Passo 2
Uma parametrização padrão de um círculo de centro
e raio
é
com
variando em
. Aqui
,
e
. Logo podemos tomar
Passo 3
Para achar o valor de
que corresponde ao ponto
, resolvemos
Verificamos que
coerente com o ponto dado.
Passo 4
Definimos o vetor posição
A derivada em relação a
é
Em
obtemos
Esse vetor indica a direção da reta tangente.
Passo 5
A reta tangente no ponto
pode ser escrita em forma vetorial como
Como o vetor direção é
, trata-se de uma reta vertical em
. Em forma cartesiana:
Resposta
A parametrização da curva é
A equação da reta tangente em
é