Calcule o comprimento da curva:
Gamma(t)=(t, t cos (t), t sen(t)), t in[0,2 pi]

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva paramétrica
Gamma(t) = l(t,;tcos t,;tsin tr), tin[0,2pi].
O conteúdo aqui é comprimento de arco de curva em R^3, cuja fórmula é
L = integrala^bl|Gamma'(t)r|,dt

Passo 2

Vamos derivar cada componente de Gamma(t):
Gamma'(t) = l(1,;cos t - tsin t,;sin t + tcos tr)

Passo 3

Calculamos o módulo |Gamma'(t)|. Primeiro o quadrado:
|Gamma'(t)|^2 = 1^2 + (cos t - tsin t)^2 + (sin t + tcos t)^2
Expandindo e somando, os termos mistos se cancelam e usamos cos^2t+sin^2t=1. Fica
|Gamma'(t)|^2 = 1 + t^2 + 1 = t^2 + 2,
então
|Gamma'(t)| = raizt^2 + 2

Passo 4

O comprimento vira
L = integral0^2pi raizt^2 + 2,dt

Passo 5

Usamos a primitiva padrão para integral raizt^2 + a^2,dt com a=raiz2:
integral raizt^2 + 2,dt = 12l(traizt^2+2 + 2lnl(t + raizt^2+2r)r) + C

Passo 6

Avaliando de 0 a 2pi:
L = 12l(2piraiz4pi^2+2 + 2lnl(2pi+raiz4pi^2+2r)r) - 12l(0 + 2ln(raiz2)r)
Isso simplifica para
L = piraiz4pi^2+2 + lnl(2pi + raiz4pi^2+2r) - tfrac12ln 2

Resposta

L = piraiz4pi^2+2 + ln!l(2pi + raiz4pi^2+2r) - tfrac12ln 2

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