Calcule o comprimento da curva:
Passo 1
O enunciado pede o comprimento da curva paramétrica
,
.
O conteúdo aqui é comprimento de arco de curva em , cuja fórmula é
O conteúdo aqui é comprimento de arco de curva em
Passo 2
Vamos derivar cada componente de
Gamma(t) :
Passo 3
Calculamos o módulo
|Gamma'(t)| . Primeiro o quadrado:
Expandindo e somando, os termos mistos se cancelam e usamos
cos^2t+sin^2t=1 . Fica
então
Passo 4
O comprimento vira
Passo 5
Usamos a primitiva padrão para
integral raizt^2 + a^2,dt com
a=raiz2 :
Passo 6
Avaliando de
0 a
2pi :
Isso simplifica para