Determine G(t) se G^prime(t)=(2 t, 3 t^2, e^t) e G(1)=(1,1, e).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função vetorial G(t) a partir de sua derivada G'(t)=(2t,,3t^2,,e^t), sabendo que G(1)=(1,1,e). O conteúdo é antiderivada componente a componente e aplicação de condição inicial.

Passo 2

Integramos cada componente de G'(t) para obter antiderivadas:
integral 2t,dt = t^2, integral 3t^2,dt = t^3, integral e^t,dt = e^t

Passo 3

Como cada componente pode ter uma constante de integração distinta, a forma geral de G(t) é
G(t) = l(t^2 + C1,;t^3 + C2,;e^t + C3r)

Passo 4

Usamos a condição G(1)=(1,1,e). Calculando G(1) na forma geral:
G(1) = l(1 + C1,;1 + C2,;e + C3r) stackrel!= (1,1,e)
Comparando componentes segue C1=0, C2=0 e C3=0.

Resposta

G(t) = l(t^2,;t^3,;e^tr)

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