Determine d yd x usando a regra da cadeia, se:
y=2^u, u=arccsct e t=cos x+tg x

Passo 1

O enunciado define uma composição de três funções:
,
e
.
O que precisamos é de . Para isso, vamos aplicar a regra da cadeia em três etapas:

Passo 2

Calculamos dfracdydu. Como y=2^u, vale a fórmula da derivada de a^u:
dydu =2^uln(2)

Passo 3

Agora , com . Lembrando que
temos

Passo 4

Em seguida dfracdtdx para t=cos x+tan x. Derivando cada termo:
ddx(cos x)=-sin x, ddx(tan x)=sec^2x,
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dtdx =-sin x+sec^2x

Passo 5

Agora juntamos tudo pela regra da cadeia:
dydx =underbrace2^uln(2)dydu ;times; underbracel(-1lvert trvertraizt^2-1r)dudt ;times; underbrace(-sin x+sec^2x)dtdx
Repare que os dois sinais negativos se cancelam, ficando
dydx =2^uln(2);sin x-sec^2xlvert trvertraizt^2-1

Passo 6

Substituímos de volta e :

Resposta

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