Calcule o comprimento da curva:
C: { x = 5t, y = 4t^2, z = 3t^2, t em [0,2] }

Passo 1

Beleza, vamos calcular o comprimento da curva definida pelas equações paramétricas:
Aqui, estamos lidando com cálculo de comprimento de curva no espaço tridimensional. Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para curvas no espaço, que envolve derivadas das funções paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas das funções , e em relação a :

Passo 3

A fórmula do comprimento de arco para uma curva parametrizada por é:
Vamos substituir as derivadas que calculamos:

Passo 4

Simplificando dentro da raiz:
Somando tudo:
Então a integral fica:

Passo 5

Fatorando 25 de dentro da raiz:
Agora, a integral é:

Passo 6

Fazendo uma substituição para resolver a integral, vamos deixar , então ou . Quando , ; quando , .
Substituindo na integral:

Passo 7

A integral é uma integral padrão que resulta em:
Avaliaremos essa expressão de 0 a 4.

Passo 8

Calculando:
Sabemos que , então:
Simplificando:

Resposta

O comprimento da curva é:

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