Encontre o domínio (o maior possível) e a imagem, o conjunto de zeros, os intervalos de positividade e negatividade, e esboçe o gráfico: f(x) = x^2 + 3x + 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o domínio, a imagem, os zeros, os intervalos onde a função é positiva ou negativa e também esboçar o gráfico da função .
Vamos precisar usar conhecimentos sobre funções quadráticas, que são funções do segundo grau e têm a forma geral . Vamos lá!

Passo 2

Dominio da função
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Para funções polinomiais, como a que temos aqui, não há restrições. Isso significa que podemos usar qualquer número real para .
Então, o domínio da função é:
Ou seja, todos os números reais.

Passo 3

Encontrando os zeros da função
Os zeros da função são os valores de que fazem . Para achar esses valores, vamos resolver a equação:
Podemos fatorar o polinômio:
Agora, igualamos cada fator a zero:
Assim:
Portanto, os zeros da função são e .

Passo 4

Intervalos de positividade e negatividade
Para saber onde a função é positiva ou negativa, vamos analisar o sinal da função em relação aos zeros encontrados.
Sabemos que uma função quadrática com coeficiente tem o gráfico em forma de parábola voltada para cima. Nesse caso, .
Com os zeros em e , dividimos a reta dos números reais em três intervalos:
Vamos testar um valor em cada intervalo:
  1. Para : Vamos usar .
  1. Para : Vamos usar .
  1. Para : Vamos usar .
Então, a função é positiva nos intervalos e , e negativa no intervalo .

Passo 5

Imagem da função
A imagem da função é o conjunto de todos os valores que pode assumir. Para uma função quadrática com , o valor mínimo ocorre no vértice.
Vamos encontrar o vértice da parábola:
A coordenada do vértice é dada por:
Agora, calculamos :
Assim, o valor mínimo da função é . Portanto, a imagem da função é:

Passo 6

Esboçando o gráfico da função
Vamos juntar todas as informações:
  • Domínio: Todos os reais .
  • Zeros: e .
  • Sinais:
    • Positiva em e .
    • Negativa em .
  • Vértice: .
  • Abertura: Para cima, já que .
  • Imagem: .
Com isso, podemos desenhar uma parábola que cruza o eixo nos pontos e , tem seu ponto mais baixo em e se abre para cima.

Resposta

  • Domínio:
  • Imagem:
  • Zeros da função: e
  • Intervalos de positividade: e
  • Intervalo de negatividade:
  • Gráfico: Parábola com vértice em , atravessando os pontos e , e se abrindo para cima.

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