Encontre o domínio (o maior possível) e a imagem, o conjunto de zeros, os intervalos de positividade e negatividade, e esboçe o gráfico:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o domínio, a imagem, os zeros, os intervalos onde a função é positiva ou negativa e também esboçar o gráfico da função
.
Vamos precisar usar conhecimentos sobre funções quadráticas, que são funções do segundo grau e têm a forma geral
. Vamos lá!
Passo 2
Dominio da função
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Para funções polinomiais, como a que temos aqui, não há restrições. Isso significa que podemos usar qualquer número real para
.
Então, o domínio da função
é:
Ou seja, todos os números reais.
Passo 3
Encontrando os zeros da função
Os zeros da função são os valores de
que fazem
. Para achar esses valores, vamos resolver a equação:
Podemos fatorar o polinômio:
Agora, igualamos cada fator a zero:
Assim:
Portanto, os zeros da função são
e
.
Passo 4
Intervalos de positividade e negatividade
Para saber onde a função é positiva ou negativa, vamos analisar o sinal da função em relação aos zeros encontrados.
Sabemos que uma função quadrática com coeficiente
tem o gráfico em forma de parábola voltada para cima. Nesse caso,
.
Com os zeros em
e
, dividimos a reta dos números reais em três intervalos:
Vamos testar um valor em cada intervalo:
- Para
: Vamos usar .
- Para
: Vamos usar .
- Para
: Vamos usar .
Então, a função é positiva nos intervalos
e
, e negativa no intervalo
.
Passo 5
Imagem da função
A imagem da função é o conjunto de todos os valores que
pode assumir. Para uma função quadrática
com
, o valor mínimo ocorre no vértice.
Vamos encontrar o vértice da parábola:
A coordenada
do vértice é dada por:
Agora, calculamos
:
Assim, o valor mínimo da função é
. Portanto, a imagem da função é:
Passo 6
Esboçando o gráfico da função
Vamos juntar todas as informações:
- Domínio: Todos os reais
. - Zeros:
e . - Sinais:
- Positiva em
e . - Negativa em
.
- Positiva em
- Vértice:
. - Abertura: Para cima, já que
. - Imagem:
.
Com isso, podemos desenhar uma parábola que cruza o eixo
nos pontos
e
, tem seu ponto mais baixo em
e se abre para cima.
Resposta
- Domínio:
- Imagem:
- Zeros da função:
e - Intervalos de positividade:
e - Intervalo de negatividade:
- Gráfico: Parábola com vértice em
, atravessando os pontos e , e se abrindo para cima.