Calcule o comprimento da curva \lambda(t)=(\cos t, \operatorname{sen} t, t), t \in[0,2 \pi].

Passo 1

Resumindo: queremos o comprimento da curva \lambda(t)=(\cos t,\sin t,t) para t\in[0,2\pi]. Esse problema envolve o cálculo de comprimento de arco de uma curva em \mathbb{R}^3, que se faz pela fórmula
L=\int_{a}^{b}\|\lambda'(t)\|\,dt.

Passo 2

Derivando a parametrização, obtemos
\lambda'(t)=(-\sin t,\cos t,1).

Passo 3

O módulo de \lambda'(t) fica
\|\lambda'(t)\| =\sqrt{(-\sin t)^2+(\cos t)^2+1^2} =\sqrt{\sin^2t+\cos^2t+1} =\sqrt{2}.
Logo o comprimento é
L=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{2}\,dt.

Passo 4

Como \sqrt{2} é constante, temos
L=\sqrt{2}\,\bigl[t\bigr]_{0}^{2\pi} =\sqrt{2}\,(2\pi)=2\pi\sqrt{2}.

Resposta

2\pi\sqrt{2}

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