Um observador a 1 km do ponto de lançamento de um foguete verifica que em t_{1} =10 segundos após o lançamento o ângulo entre o solo e a sua linha de visão para o foguete é de \theta_{1}=18^{\circ}, que em t_{2}=20 segundos esse ângulo é de \theta_{2}=52^{\circ} e que em t_{3}=30 \mathrm{~s} esse ângulo é de \theta_{3}=71^{\circ}. Estime a aceleração e a velocidade do foguete nos intervalos \Delta t_{01}=t_{1}-t_{0}, \Delta t_{12}=t_{2}-t_{1} e \Delta t_{23}=t_{3}-t_{2}, bem como as distâncias entre o observador e o foguete.

Passo 1

O problema envolve dois tópicos: trigonometria (para relacionar o ângulo de visão com a altura do foguete) e cinemática de movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV) para estimar velocidades e acelerações. A configuração é a seguinte: o observador está a x=1000 m horizontalmente do ponto de lançamento, no instante t_{0}=0 o foguete parte do solo com y_{0}=0 e (aproximadamente) v_{0}=0. São dados:
\theta_{1}=18^\circ em t_{1}=10 s,
\theta_{2}=52^\circ em t_{2}=20 s,
\theta_{3}=71^\circ em t_{3}=30 s.
Queremos as alturas y_i, as distâncias r_i entre observador e foguete em cada instante, as velocidades médias nos intervalos \Delta t_{01}=10 s, \Delta t_{12}=10 s, \Delta t_{23}=10 s, e as acelerações médias nesses mesmos intervalos.

Passo 2

Para cada ângulo \theta_i a altura y_i é dada por
y_i = x \,\tan(\theta_i),
com x=1000 m. Assim
y_1 = 1000\,\tan(18^\circ)\approx 1000\cdot0,3249 = 324{,}9\text{ m},
y_2 = 1000\,\tan(52^\circ)\approx 1000\cdot1,279 = 1279\text{ m},
y_3 = 1000\,\tan(71^\circ)\approx 1000\cdot2,904 = 2904\text{ m}.
E y_0=0.

Passo 3

A distância r_i entre o observador e o foguete satisfaz
r_i = \sqrt{x^2 + y_i^2}.
Logo
r_1 = \sqrt{1000^2 + 324{,}9^2}\approx 1051{,}5\text{ m},
r_2 = \sqrt{1000^2 + 1279^2}\approx 1623{,}5\text{ m},
r_3 = \sqrt{1000^2 + 2904^2}\approx 3071{,}2\text{ m}.

Passo 4

A velocidade média em cada intervalo \Delta t_{ij}=t_j - t_i é
v_{ij} = \frac{y_j - y_i}{\Delta t_{ij}}.
Como todos os intervalos são de 10 s,
v_{01} = \frac{324{,}9 - 0}{10} = 32{,}49\text{ m/s},
v_{12} = \frac{1279 - 324{,}9}{10} = 95{,}41\text{ m/s},
v_{23} = \frac{2904 - 1279}{10} = 162{,}5\text{ m/s}.

Passo 5

A aceleração média em cada intervalo é
a_{ij} = \frac{v_{ij} - v_{i-1,i}}{\Delta t_{ij}},
onde para o primeiro usamos v_{0,1}-v_{0,0}=v_{01}-0. Assim
a_{01} = \frac{32{,}49 - 0}{10} = 3{,}249\text{ m/s}^2,
a_{12} = \frac{95{,}41 - 32{,}49}{10} = 6{,}292\text{ m/s}^2,
a_{23} = \frac{162{,}5 - 95{,}41}{10} = 6{,}709\text{ m/s}^2.

Resposta

Alturas:
y_1\approx324{,}9 m,
y_2\approx1279 m,
y_3\approx2904 m.
Distâncias:
r_1\approx1051{,}5 m,
r_2\approx1623{,}5 m,
r_3\approx3071{,}2 m.
Velocidades médias:
v_{01}\approx32{,}49 m/s,
v_{12}\approx95{,}41 m/s,
v_{23}\approx162{,}5 m/s.
Acelerações médias:
a_{01}\approx3{,}249 m/ s^{2},
a_{12}\approx6{,}292 m/ s^{2},
a_{23}\approx6{,}709 m/ s^{2}.

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