resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
x\left(1+y^{2}\right)^{1 / 2} d x=y\left(1+x^{2}\right)^{1 / 2} d y

Passo 1

O enunciado pede resolver, por separação de variáveis, a equação diferencial
x\sqrt{1+y^{2}}\,dx = y\sqrt{1+x^{2}}\,dy.
O método consiste em isolar termos com x de um lado e com y do outro.

Passo 2

Dividimos ambos os lados por \sqrt{1+x^{2}}\sqrt{1+y^{2}}, obtendo a separação das variáveis:
\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx = \frac{y}{\sqrt{1+y^{2}}}\,dy.

Passo 3

Agora integramos cada membro:
\int \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx = \int \frac{y}{\sqrt{1+y^{2}}}\,dy.
Na integral da esquerda fazemos u=1+x^{2}, logo du=2x\,dx, e obtemos
\int \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx = \sqrt{1+x^{2}}.
De modo idêntico, na direita com v=1+y^{2} chega-se a
\int \frac{y}{\sqrt{1+y^{2}}}\,dy = \sqrt{1+y^{2}}.

Passo 4

Igualando os resultados e introduzindo a constante de integração C, fica
\sqrt{1+x^{2}} = \sqrt{1+y^{2}} + C,
ou, reorganizando,
\sqrt{1+x^{2}} - \sqrt{1+y^{2}} = C.

Resposta

\sqrt{1+x^{2}} - \sqrt{1+y^{2}} = C

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