Calcule F^{\prime}(t) e F^{\prime \prime}(t) nos casos;
F(t)=\left(\sqrt[3]{t^{2}}, \cos \left(t^{2}\right), \cos ^{2} t\right), t \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas primeira e segunda de
F(t)=\bigl(\sqrt[3]{t^{2}},\;\cos(t^{2}),\;\cos^{2}t\bigr),\quad t\in\mathbb{R}.
Vamos aplicar a derivação componente a componente, usando regra da cadeia sempre que necessário.

Passo 2

Derivada da primeira componente f(t)=\sqrt[3]{t^{2}}=(t^{2})^{1/3}. Pela regra da cadeia:
f'(t)=\frac{1}{3}(t^{2})^{\frac{1}{3}-1}\cdot 2t =\frac{2t}{3\,(t^{2})^{2/3}} =\frac{2}{3\,t^{1/3}},
válido para t\neq0.

Passo 3

Derivada da segunda componente g(t)=\cos(t^{2}). Pela regra da cadeia:
g'(t)=-\sin(t^{2})\cdot\frac{d}{dt}(t^{2}) =-2t\,\sin(t^{2}).

Passo 4

Derivada da terceira componente h(t)=\cos^{2}t. Também pela cadeia:
h'(t)=2\cos t\;\bigl(-\sin t\bigr) =-2\cos t\,\sin t =-\sin(2t).

Passo 5

Agora, reunindo, obtemos
F'(t)=\Bigl(\frac{2}{3\,t^{1/3}},\;-2t\,\sin(t^{2}),\;-\sin(2t)\Bigr),
para t\neq0. Note que em t=0 a primeira componente não é derivável.

Passo 6

Para F''(t), derivamos cada componente de F'(t):
  1. Primeira componente
\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{2}{3\,t^{1/3}}\Bigr) =\frac{2}{3}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)\,t^{-4/3} =-\frac{2}{9\,t^{4/3}}.
  1. Segunda componente
\frac{d}{dt}\bigl(-2t\,\sin(t^{2})\bigr) =-2\sin(t^{2}) -2t\cdot\cos(t^{2})\cdot2t =-2\sin(t^{2})-4t^{2}\cos(t^{2}).
  1. Terceira componente
\frac{d}{dt}\bigl(-\sin(2t)\bigr) =-\cos(2t)\cdot2 =-2\cos(2t).

Resposta

F'(t)=\Bigl(\frac{2}{3\,t^{1/3}},\;-2t\,\sin(t^{2}),\;-\sin(2t)\Bigr), \qquad F''(t)=\Bigl(-\frac{2}{9\,t^{4/3}},\;-2\sin(t^{2})-4t^{2}\cos(t^{2}),\;-2\cos(2t)\Bigr).

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