Calcule o comprimento da curva F(t)=\left(t^{2}, t \operatorname{sen}(t), t \cos (t)\right), com t \in[0,1].

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva vetorial
F(t) = \bigl(t^2,\;t\operatorname{sen}(t),\;t\cos(t)\bigr),
para t\in[0,1].
O conteúdo aqui é o cálculo de comprimento de arco de uma curva paramétrica em \mathbb{R}^3, que usa a fórmula
L = \int_a^b \bigl\lVert F'(t)\bigr\rVert\,dt.
Precisamos, portanto, achar F'(t), calcular sua norma e integrar de 0 a 1.

Passo 2

Derivando componente a componente,
F'(t) = \bigl(2t,\;\operatorname{sen}(t) + t\cos(t),\;\cos(t) - t\operatorname{sen}(t)\bigr).

Passo 3

Agora calculamos a norma
\bigl\lVert F'(t)\bigr\rVert = \sqrt{(2t)^2 + \bigl(\operatorname{sen}(t)+t\cos(t)\bigr)^2 + \bigl(\cos(t)-t\operatorname{sen}(t)\bigr)^2}.
Observe que
\bigl(\operatorname{sen}(t)+t\cos(t)\bigr)^2 + \bigl(\cos(t)-t\operatorname{sen}(t)\bigr)^2 = \operatorname{sen}^2(t) + \cos^2(t) + t^2\bigl(\cos^2(t)+\operatorname{sen}^2(t)\bigr) = 1 + t^2.
Logo
\bigl\lVert F'(t)\bigr\rVert = \sqrt{4t^2 + 1 + t^2} = \sqrt{1 + 5t^2}.

Passo 4

O comprimento é
L = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + 5t^2}\,dt.
Usamos a primitiva
\int \sqrt{1 + a^2 t^2}\,dt = \frac{t}{2}\sqrt{1 + a^2 t^2} + \frac{1}{2a}\ln\!\bigl(a t + \sqrt{1 + a^2 t^2}\bigr) + C,
com a=\sqrt{5}. Avaliando de 0 a 1
L = \left[\frac{t}{2}\sqrt{1+5t^2} + \frac{1}{2\sqrt5}\ln\!\bigl(\sqrt5\,t + \sqrt{1+5t^2}\bigr)\right]_{0}^{1}.
No numerador t=1 e no denominador t=0 resulta em
L = \frac{\sqrt6}{2} + \frac{1}{2\sqrt5}\ln\!\bigl(\sqrt5 + \sqrt6\bigr).

Resposta

L = \frac{\sqrt6}{2} + \frac{1}{2\sqrt5}\ln\bigl(\sqrt5 + \sqrt6\bigr).

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