Resolva as questōes:
Determinar a equação do plano \pi que passa pelo ponto médio do segmento de extremos A(5,-2,4) e B(-1,-4,2). Apresentar, em todas as questões, sua respectiva solução e justificativa.

Passo 1

O enunciado pede a equação de um plano \pi que passe pelo ponto médio do segmento com extremos em
A(5,-2,4)
e
B(-1,-4,2).
Para determinar um plano no espaço precisamos de um ponto e de um vetor normal (ou de três pontos não colineares). Aqui só temos informação sobre um ponto (o ponto médio de AB).

Passo 2

Calculemos o ponto médio M de AB:
M = \Bigl(\tfrac{5 + (-1)}{2},\,\tfrac{-2 + (-4)}{2},\,\tfrac{4 + 2}{2}\Bigr) = (2,\,-3,\,3).
Então sabemos que \pi contém o ponto M(2,-3,3), mas não há nenhuma outra condição (por exemplo, um vetor normal ou outro ponto ou reta) que fixe unicamente o plano.

Passo 3

Como só temos um único ponto em \pi, sem nenhuma direção ou normal adicional, existem infinitos planos passando por M. Para definir uma equação de plano precisamos de pelo menos mais uma informação (por exemplo, “ \pi é perpendicular a um dado vetor” ou “ \pi contém outro ponto ou reta”).

Resposta

Não é possível determinar uma única equação para \pi apenas com o ponto médio de AB; faltam dados adicionais que definam o vetor normal do plano ou outros pontos no plano.

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