Determine expressões para as componentes tangencial e normal da aceleração e para a curvatura da curva F(t)=(t \cos (t), t \operatorname{sen}(t)).

Passo 1

O enunciado pede para a curva
\mathbf{F}(t) = \bigl(t\cos t,\;t\sin t\bigr)
determinar as componentes tangencial a_T(t) e normal a_N(t) da aceleração, além da curvatura \kappa(t). Vamos usar as fórmulas
\mathbf{v}(t)=\mathbf{F}'(t),\quad \mathbf{a}(t)=\mathbf{v}'(t),
a_T = \frac{d}{dt}\|\mathbf{v}\|,\quad a_N = \frac{\bigl|\mathbf{v}\times\mathbf{a}\bigr|}{\|\mathbf{v}\|},\quad \kappa = \frac{\bigl|\mathbf{v}\times\mathbf{a}\bigr|}{\|\mathbf{v}\|^3}.

Passo 2

Calcular \mathbf{v}(t) e \mathbf{a}(t):
\mathbf{v}(t)=\mathbf{F}'(t) =\bigl(\cos t - t\sin t,\;\sin t + t\cos t\bigr),
\mathbf{a}(t)=\mathbf{v}'(t) =\bigl(-2\sin t - t\cos t,\;2\cos t - t\sin t\bigr).

Passo 3

Calcular a velocidade \|\mathbf{v}(t)\|:
\|\mathbf{v}(t)\|^2 =(\cos t - t\sin t)^2+(\sin t + t\cos t)^2 =1+t^2,
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\|\mathbf{v}(t)\|=\sqrt{1+t^2}.

Passo 4

Calcular a componente tangencial
a_T(t) =\frac{d}{dt}\|\mathbf{v}(t)\| =\frac{d}{dt}\sqrt{1+t^2} =\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}.

Passo 5

Calcular o determinante que dá o “produto vetorial” em 2D:
\mathbf{v}\times\mathbf{a} =\det\begin{pmatrix}v_1&v_2\a_1&a_2\end{pmatrix} =(\cos t - t\sin t)(2\cos t - t\sin t) -(\sin t + t\cos t)(-2\sin t - t\cos t) =t^2+2.
Como é positivo, \bigl|\mathbf{v}\times\mathbf{a}\bigr|=t^2+2.

Passo 6

Usar o resultado anterior para obter
a_N(t) =\frac{\bigl|\mathbf{v}\times\mathbf{a}\bigr|}{\|\mathbf{v}\|} =\frac{t^2+2}{\sqrt{1+t^2}},
\kappa(t) =\frac{\bigl|\mathbf{v}\times\mathbf{a}\bigr|}{\|\mathbf{v}\|^3} =\frac{t^2+2}{\bigl(1+t^2\bigr)^{3/2}}.

Resposta

a_T(t)=\displaystyle\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}, a_N(t)=\displaystyle\frac{t^2+2}{\sqrt{1+t^2}}, \displaystyle\kappa(t)=\frac{t^2+2}{(1+t^2)^{3/2}}\,.

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