(a) Determinar o valor de m de modo que os planos \pi_{1}: 2 m x+y-z=0 e \pi_{2}: 2 x-m y+ 3 z-1=0 sejam perpendiculares.
(b) ( 15 pontos) Determinar a equação do plano \pi que passa pelo ponto médio do segmento de extremos A(5,-2,4) e B(-1,-4,2).

Passo 1

O enunciado é de geometria analítica no espaço.
(a) Queremos achar m para que os planos
\pi_{1}:2m\,x + y - z = 0
e
\pi_{2}:2x - m\,y + 3z - 1 = 0
sejam perpendiculares. Lembre que dois planos são perpendiculares se, e só se, seus vetores normais forem perpendiculares.
(b) Precisamos da equação de um plano \pi que passe pelo ponto médio do segmento com extremos A(5,-2,4) e B(-1,-4,2). Para determinar um plano no espaço, além de um ponto, é necessário conhecer seu vetor normal ou outra condição extra (por ex., ser perpendicular a uma direção dada).

Passo 2

Planejamos (a) assim: o vetor normal de \pi_{1} é
\mathbf{n}_{1} = (2m,\;1,\;-1)
e o vetor normal de \pi_{2} é
\mathbf{n}_{2} = (2,\;-m,\;3).
Para serem perpendiculares vale
\mathbf{n}_{1}\cdot\mathbf{n}_{2}=0.

Passo 3

Calculamos o produto escalar e resolvemos para m:
\mathbf{n}_{1}\cdot\mathbf{n}_{2} = (2m)\cdot 2 \;+\;1\cdot(-m)\;+\;(-1)\cdot 3 = 4m - m - 3 = 3m - 3.
Impondo 3m-3=0 obtemos m=1.

Passo 4

Para (b), primeiro achamos o ponto médio M de AB:
M\bigl(\tfrac{5+(-1)}{2},\;\tfrac{-2+(-4)}{2},\;\tfrac{4+2}{2}\bigr) = M(2,\,-3,\,3).
Mas conhecer só um ponto não basta para definir um plano: há infinitos planos passando por M. Falta uma direção (ou um vetor normal) ou alguma condição extra (por exemplo, “ \pi é perpendicular a AB” ou contém outra reta).

Resposta

(a) m=1.
(b) Não é possível determinar uma única equação de plano apenas com a condição de “passar pelo ponto médio” – faltam dados adicionais (como um vetor normal ou outra reta contida no plano).

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