(a) Determinar o valor de
de modo que os planos
e
sejam perpendiculares.
(b) ( 15 pontos) Determinar a equação do plano
que passa pelo ponto médio do segmento de extremos
e
.
(b) ( 15 pontos) Determinar a equação do plano
Passo 1
O enunciado é de geometria analítica no espaço.
(a) Queremos achar para que os planos
(a) Queremos achar
e
sejam perpendiculares. Lembre que dois planos são perpendiculares se, e só se, seus vetores normais forem perpendiculares.
(b) Precisamos da equação de um plano que passe pelo ponto médio do segmento com extremos
e
. Para determinar um plano no espaço, além de um ponto, é necessário conhecer seu vetor normal ou outra condição extra (por ex., ser perpendicular a uma direção dada).
(b) Precisamos da equação de um plano
Passo 2
Planejamos (a) assim: o vetor normal de
é
e o vetor normal de
é
Para serem perpendiculares vale
Passo 3
Calculamos o produto escalar e resolvemos para
:
Impondo
obtemos
Passo 4
Para (b), primeiro achamos o ponto médio
de
:
Mas conhecer só um ponto não basta para definir um plano: há infinitos planos passando por
. Falta uma direção (ou um vetor normal) ou alguma condição extra (por exemplo, “
é perpendicular a
” ou contém outra reta).
Resposta
(a)
.
(b) Não é possível determinar uma única equação de plano apenas com a condição de “passar pelo ponto médio” – faltam dados adicionais (como um vetor normal ou outra reta contida no plano).
(b) Não é possível determinar uma única equação de plano apenas com a condição de “passar pelo ponto médio” – faltam dados adicionais (como um vetor normal ou outra reta contida no plano).