A curva \mathbf{R}(t)=(t-\operatorname{tanh} t, \operatorname{sech} t) é chamado de tractriz.
(a) Prove que s(t)=\int_{0}^{t}\left\|\mathbf{R}^{\'}(u)\right\| d u é igual a s(t)=\ln (\operatorname{cosh} t).
(b) Prove que t=g(s)=\ln \left(e^{s}+\sqrt{e^{2 s}-1}\right) é uma inversa de s(t) e comprove que:
Escolhemos o ramo \mathbf{e}^{\mathbf{t}}=\mathbf{e}^{\mathbf{s}}+\sqrt{\mathbf{e}^{\mathbf{2 s}}-\mathbf{1}} , (note que e^{2 s}-1 \geq 0 para s \geq 0 ). Temos
Então substituindo o parámetro t por g(s)=\ln \left(e^{s}+\sqrt{e^{2 s}-1}\right) na curva \mathbf{R}(t)= (t-\operatorname{tanh} t, \operatorname{sech} t), teremos a parametrização por cumprimento de arco:
Vamos a simplificar esta parametrização.
(i) Primeiro a segunda coordenada y(s)=\operatorname{sech}(g(s))=\operatorname{sech}\left(\ln \left(e^{s}+\sqrt{e^{2 s}-1}\right)\right). Pela definição de sech (g(s)), temos:
Substituindo em y(t)=\operatorname{sech} t=\frac{2}{e^{t}+e^{-t}} , temos também \mathbf{y}(\mathbf{s})=\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{2 e}^{\mathbf{s}}}=\mathbf{e}^{-\mathbf{s}}.
(ii) Agora para \mathbf{x}(\mathbf{s})=\mathbf{g}(\mathbf{s})-\operatorname{tanh} \mathbf{g}(\mathbf{s}), usando a igualdade \operatorname{tanh} ^{-1}(\operatorname{tanh} g(s))= g(s), teremos que
Vamos a simplificar o termo \operatorname{tanh} (g(s)) onde g(s)=\ln \left(e^{s}+\sqrt{e^{2} s-1}\right). Pela definição \operatorname{tanh} g(s)=\frac{e^{g(s)}-e^{-g(s)}}{e^{g(s)}+e^{-g(s)}}, então:
é a inversa de s(t) (ou seja, g(s(t))=t para as t relevantes) e que, reparametrizando a curva por s usando t=g(s), obtemos a parametrização por comprimento de arco
Dados relevantes extraídos do enunciado que usaremos: a forma explícita de \mathbf{R}(t) e a definição de comprimento de arco; as funções hiperbólicas usuais \operatorname{sinh},\operatorname{cosh},\operatorname{tanh},\operatorname{sech} e identidades como \operatorname{cosh}^{2}t-\operatorname{sinh}^{2}t=1 e \operatorname{tanh}^{2}t+\operatorname{sech}^{2}t=1. A resolução efetiva começa no próximo passo.
Passo 2
Derivadas das componentes de \mathbf{R}(t). Vou calcular \mathbf{R}^{\prime}(t) componente a componente e lembrar as derivadas básicas:
Expliquei a origem de cada termo (derivada de t é 1; derivada de -\operatorname{tanh} t é -\operatorname{sech}^{2}t; derivada de \operatorname{sech}t é -\operatorname{sech}t\operatorname{tanh} t).
Passo 3
Cálculo da rapidez \left\|\mathbf{R}^{\prime}(t)\right\|. Vou computar o quadrado da norma e simplificar com identidades hiperbólicas:
Usando a identidade \operatorname{sech}^{2}t+\operatorname{tanh}^{2}t=1 (que é equivalente a \operatorname{sinh}^{2}t+1=\operatorname{cosh}^{2}t dividida por \operatorname{cosh}^{2}t), obtemos
Reescrevo \operatorname{tanh} u=\dfrac{\operatorname{sinh} u}{\operatorname{cosh} u} e noto que \dfrac{d}{du}\big(\ln(\operatorname{cosh} u)\big)=\dfrac{\operatorname{sinh} u}{\operatorname{cosh} u}. Portanto a integral é imediata:
Para escolher o ramo correto note que e^{t}>0 sempre; além disso, para t\ge0 (caso natural ao medir comprimento a partir de 0) temos e^{t}\ge1 e \operatorname{cosh} t\ge1 implicando e^{s}\ge1. As duas raízes são recíprocas entre si (produto =1); a raiz maior que 1 é
e^{t}=e^{s}+\sqrt{e^{2s}-1},
portanto
t=\ln\!\left(e^{s}+\sqrt{e^{2s}-1}\right).
Definimos g(s) por essa expressão; assim g(s) é a inversa de s(t) no intervalo considerado, o que resolve a primeira parte de (b).
Passo 6
Substituição t=g(s) na curva e simplificação da segunda coordenada. A reparametrização dá
Agora escrevo g(s) como \operatorname{tanh}^{-1} do valor \operatorname{tanh}(g(s)): como \operatorname{tanh}^{-1}(\operatorname{tanh}(g(s)))=g(s) (no ramo principal, válido enquanto |\operatorname{tanh}(g(s))|<1, o que ocorre aqui), obtemos
Verificação de que \mathbf{R}_{1}(s) é parametrização por comprimento de arco (velocidade unitária). Há duas maneiras claras; uso a razão via reparametrização inversa (mais curta e robusta):
Pela regra da cadeia, \dfrac{d}{ds}\mathbf{R}(g(s))=\mathbf{R}^{\prime}(g(s))\,g'(s).
A norma é \big\|\mathbf{R}^{\prime}(g(s))\big\|\cdot |g'(s)|.
Mas \big\|\mathbf{R}^{\prime}(t)\big\|=\operatorname{tanh} t, então avaliada em t=g(s) dá \operatorname{tanh}(g(s)).
Além disso, g é a inversa de s(t), logo g'(s)=\dfrac{1}{s'(g(s))}=\dfrac{1}{\operatorname{tanh}(g(s))} (a derivada da inversa é o inverso da derivada, desde que seja diferente de zero).
Multiplicando, a norma do vetor velocidade reparametrizado é
Portanto \left\|\dfrac{d}{ds}\mathbf{R}_{1}(s)\right\|=1 para os s considerados, o que significa que \mathbf{R}_{1}(s) é uma parametrização por comprimento de arco.
Resposta
(a) s(t)=\ln(\operatorname{cosh} t).
(b) g(s)=\ln\!\left(e^{s}+\sqrt{e^{2s}-1}\right) é a inversa de s(t). \mathbf{R}_{1}(s)=\left(\operatorname{tanh}^{-1}\!\big(\sqrt{1-e^{-2s}}\big)-\sqrt{1-e^{-2s}},\; e^{-s}\right) é a parametrização por comprimento de arco da tractriz.