A curva \mathbf{R}(t)=(t-\operatorname{tanh} t, \operatorname{sech} t) é chamado de tractriz.
(a) Prove que s(t)=\int_{0}^{t}\left\|\mathbf{R}^{\'}(u)\right\| d u é igual a s(t)=\ln (\operatorname{cosh} t).
(b) Prove que t=g(s)=\ln \left(e^{s}+\sqrt{e^{2 s}-1}\right) é uma inversa de s(t) e comprove que:
\mathbf{R}_{1}(s)=\left(\operatorname{tanh} ^{-1}\left(\sqrt{1-e^{-2 s}}\right)-\sqrt{1-e^{-2 s}}, e^{-s}\right)
é uma parametrização por cumprimento de arco, da tractriz.
Solução (a). O vetor velocidade é:
\mathbf{R}^{\'}(t)=\left(1-\operatorname{sech}^{2} t,-\operatorname{sech} t \operatorname{tanh} t\right)
logo a rapidez \left\|\mathbf{R}^{\'}(t)\right\| é
\begin{aligned} \left\|\mathbf{R}^{\'}(t)\right\| & =\sqrt{\left(1-\operatorname{sech}^{2} t\right)^{2}+(-\operatorname{sech} t \operatorname{tanh} t)^{2}} \\\ & =\sqrt{1-2 \operatorname{sech}^{2} t+\operatorname{sech}^{4} t+\operatorname{sech}^{2} t \operatorname{tanh} ^{2} t} \\\ & =\sqrt{1-2 \operatorname{sech}^{2} t+\operatorname{sech}^{2} t\left(\operatorname{sech}^{2} t+\operatorname{tanh} ^{2} t\right)} \\\ & =\sqrt{1-2 \operatorname{sech}^{2} t+\operatorname{sech}^{2} t}=\sqrt{1-\operatorname{sech}^{2} t}=\sqrt{1-\frac{1}{\operatorname{cosh} ^{2} t}} \\\ & =\sqrt{\frac{\operatorname{cosh} ^{2} t-1}{\operatorname{cosh} ^{2} t}}=\frac{\operatorname{sinh} t}{\operatorname{cosh} t}=\operatorname{tanh} t \end{aligned}
A função comprimento de \operatorname{arco} s(t)=\int_{0}^{t}\left\|\mathbf{R}^{\'}(u)\right\| d u é:
\begin{aligned} s(t) & =\int_{0}^{t} \frac{\operatorname{sinh} u}{\operatorname{cosh} u} d u=\int_{0}^{t} \frac{d(\operatorname{cosh} u)}{\operatorname{cosh} u}=\left.\ln (\operatorname{cosh} u)\right|_{0} ^{t} \\\ & =\ln (\operatorname{cosh} t)-\ln (\operatorname{cosh} 0)=\ln (\operatorname{cosh} t)-\ln (1) \\\ \mathbf{s}(\mathbf{t}) & =\ln (\operatorname{cosh} t) \end{aligned}
Soluçao (b). Calculamos a função inversa de s=\ln (\operatorname{cosh} t) :
\begin{aligned} e^{s} & =\operatorname{cosh} t=\frac{e^{t}+e^{-t}}{2}=\frac{1}{2}\left(e^{t}+\frac{1}{e^{t}}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{e^{2 t}+1}{e^{t}}\right) \\\ \Rightarrow 2 e^{s} e^{t} & =e^{2 t}+1 \text { ou } \mathbf{e}^{\mathbf{2 t}}-\mathbf{2 e}^{\mathbf{s}} \mathbf{e}^{\mathbf{t}}+\mathbf{1}=\mathbf{0} \end{aligned}
fazendo x=e^{t}, temos \mathbf{x}^{2}-\mathbf{2 e}^{\mathbf{s}} \mathbf{x}+\mathbf{1}=\mathbf{0}.
x=e^{t}=\frac{2 e^{s} \pm \sqrt{4 e^{2 s}-4}}{2}=e^{s} \pm \sqrt{e^{2 s}-1}
Escolhemos o ramo \mathbf{e}^{\mathbf{t}}=\mathbf{e}^{\mathbf{s}}+\sqrt{\mathbf{e}^{\mathbf{2 s}}-\mathbf{1}} , (note que e^{2 s}-1 \geq 0 para s \geq 0 ). Temos
\mathbf{t}=\ln \left(\mathbf{e}^{\mathbf{s}}+\sqrt{\mathbf{e}^{\mathbf{2 s}}-\mathbf{1}}\right)=\mathbf{g}(\mathbf{s})
Então substituindo o parámetro t por g(s)=\ln \left(e^{s}+\sqrt{e^{2 s}-1}\right) na curva \mathbf{R}(t)= (t-\operatorname{tanh} t, \operatorname{sech} t), teremos a parametrização por cumprimento de arco:
\mathbf{R}(s)=(\boldsymbol{g}(s)-\operatorname{tanh} (\boldsymbol{g}(s)), \operatorname{sech}(\boldsymbol{g}(s))), \quad g(s)=\ln \left(e^{s}+\sqrt{e^{2 s}-1}\right)
Vamos a simplificar esta parametrização.
(i) Primeiro a segunda coordenada y(s)=\operatorname{sech}(g(s))=\operatorname{sech}\left(\ln \left(e^{s}+\sqrt{e^{2 s}-1}\right)\right). Pela definição de sech (g(s)), temos:
\begin{aligned} & \operatorname{sech}(g(s))=\frac{2}{e^{g(s)}+e^{-g(s)}}, \text { onde } \\\ & \left\{\begin{array}{cc} e^{g(s)} & =e^{\ln \left(e^{s}+\sqrt{e^{2 s}-1}\right)}=e^{s}+\sqrt{e^{2 s}-1} \\\ e^{-g(s)} & =e^{-\ln \left(e^{s}+\sqrt{e^{2 s}-1}\right)}=\frac{1}{e^{s}+\sqrt{e^{2 s}-1}}=e^{s}-\sqrt{e^{2 s}-1} \end{array}\right. \end{aligned}
Então \quad \mathbf{y}(\mathbf{s})=\operatorname{sech}(\mathbf{g}(\mathbf{s}))=\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{2 e}^{\mathbf{s}}}=\mathbf{e}^{-\mathbf{s}}
Aquim estamos usando a identidade (que segue por racionalização do denominador)
\frac{1}{P+\sqrt{P^{2}-1}}=P-\sqrt{P^{2}-1}
Outra maneira similar de achar y(s) é começando de y(t)=\operatorname{sech} t :
\begin{array}{r} y(t)=\operatorname{sech} t=\frac{1}{\operatorname{cosh} t}=\frac{2}{e^{t}+e^{-t}} \\\ \left\{\begin{array}{c} e^{t} \\\ e^{-t}=\frac{1}{e^{s}+\sqrt{e^{2 s}-1}}+\sqrt{e^{2 s}-1}=e^{s}-\sqrt{e^{2 s}-1} \end{array} \Rightarrow \mathbf{e}^{\mathbf{t}}+\mathbf{e}^{-\mathbf{t}}=\mathbf{2 e}^{\mathbf{s}}\right. \end{array}
Substituindo em y(t)=\operatorname{sech} t=\frac{2}{e^{t}+e^{-t}} , temos também \mathbf{y}(\mathbf{s})=\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{2 e}^{\mathbf{s}}}=\mathbf{e}^{-\mathbf{s}}.
(ii) Agora para \mathbf{x}(\mathbf{s})=\mathbf{g}(\mathbf{s})-\operatorname{tanh} \mathbf{g}(\mathbf{s}), usando a igualdade \operatorname{tanh} ^{-1}(\operatorname{tanh} g(s))= g(s), teremos que
\mathbf{x}(\mathbf{s})=\operatorname{tanh} ^{-\mathbf{1}}(\operatorname{tanh} \mathbf{g}(\mathbf{s}))-\operatorname{tanh} \mathbf{g}(\mathbf{s}), \quad \mathbf{g}(\mathbf{s})=\ln \left(\mathbf{e}^{\mathbf{s}}+\sqrt{\mathbf{e}^{\mathbf{2 s}}-\mathbf{1}}\right)
Vamos a simplificar o termo \operatorname{tanh} (g(s)) onde g(s)=\ln \left(e^{s}+\sqrt{e^{2} s-1}\right). Pela definição \operatorname{tanh} g(s)=\frac{e^{g(s)}-e^{-g(s)}}{e^{g(s)}+e^{-g(s)}}, então:
\text { Seja } X=e^{s}+\sqrt{e^{2 s}-1}, \text { então: } \quad \operatorname{tanh} (\ln X)=\frac{e^{\ln X}-e^{-\ln X}}{e^{\ln X}+e^{-\ln X}}=\frac{X-X^{-1}}{X+X^{-1}}ã
Como X^{-1}=e^{s}-\sqrt{e^{2 s}-1} e X=e^{s}+\sqrt{e^{2 s}-1}, temos
\begin{gathered} X+X^{-1}=2 e^{s}, \quad X-X^{-1}=2 \sqrt{e^{2 s}-1} \\\ \Rightarrow \operatorname{tanh} (\mathbf{g}(\mathbf{s}))=\operatorname{tanh} \left(\ln \left(\mathbf{e}^{\mathbf{s}}+\sqrt{\mathbf{e}^{\mathbf{2 s}}-\mathbf{1}}\right)\right)=\frac{\sqrt{e^{2 s}-1}}{e^{s}}=\sqrt{\mathbf{1}-\mathbf{e}^{-\mathbf{2 s}}} \end{gathered}
Assim, temos que
\mathbf{R}(s)=\left(\operatorname{tanh} ^{-1}\left(\sqrt{1-e^{-2 s}}\right)-\sqrt{1-e^{-2 s}}, e^{-s}\right)

Passo 1

O enunciado dá a curva \mathbf{R}(t)=(t-\operatorname{tanh} t,\;\operatorname{sech} t) (tractriz) e pede duas coisas:
  1. (a) Mostrar que a função comprimento de arco a partir de 0,
s(t)=\int_{0}^{t}\left\|\mathbf{R}^{\prime}(u)\right\|\,du,
é igual a s(t)=\ln(\operatorname{cosh} t).
  1. (b) Mostrar que a função
g(s)=\ln\!\left(e^{s}+\sqrt{e^{2s}-1}\right)
é a inversa de s(t) (ou seja, g(s(t))=t para as t relevantes) e que, reparametrizando a curva por s usando t=g(s), obtemos a parametrização por comprimento de arco
\mathbf{R}_{1}(s)=\left(\operatorname{tanh}^{-1}\!\big(\sqrt{1-e^{-2s}}\big)-\sqrt{1-e^{-2s}},\; e^{-s}\right).
Dados relevantes extraídos do enunciado que usaremos: a forma explícita de \mathbf{R}(t) e a definição de comprimento de arco; as funções hiperbólicas usuais \operatorname{sinh},\operatorname{cosh},\operatorname{tanh},\operatorname{sech} e identidades como \operatorname{cosh}^{2}t-\operatorname{sinh}^{2}t=1 e \operatorname{tanh}^{2}t+\operatorname{sech}^{2}t=1. A resolução efetiva começa no próximo passo.

Passo 2

Derivadas das componentes de \mathbf{R}(t). Vou calcular \mathbf{R}^{\prime}(t) componente a componente e lembrar as derivadas básicas:
\frac{d}{dt}\operatorname{tanh} t=\operatorname{sech}^{2}t,\qquad \frac{d}{dt}\operatorname{sech}t=-\operatorname{sech}t\,\operatorname{tanh} t,
onde \operatorname{sech}t=\dfrac{1}{\operatorname{cosh} t}. Assim,
\mathbf{R}^{\prime}(t)=\big(1-\operatorname{sech}^{2}t,\; -\operatorname{sech}t\,\operatorname{tanh} t\big).
Expliquei a origem de cada termo (derivada de t é 1; derivada de -\operatorname{tanh} t é -\operatorname{sech}^{2}t; derivada de \operatorname{sech}t é -\operatorname{sech}t\operatorname{tanh} t).

Passo 3

Cálculo da rapidez \left\|\mathbf{R}^{\prime}(t)\right\|. Vou computar o quadrado da norma e simplificar com identidades hiperbólicas:
\begin{aligned} \left\|\mathbf{R}^{\prime}(t)\right\|^{2} &=\big(1-\operatorname{sech}^{2}t\big)^{2}+\big(-\operatorname{sech}t\,\operatorname{tanh} t\big)^{2}\\[6pt] &=1-2\operatorname{sech}^{2}t+\operatorname{sech}^{4}t+\operatorname{sech}^{2}t\,\operatorname{tanh}^{2}t. \end{aligned}
Agora fatoro \operatorname{sech}^{2}t nos últimos dois termos:
\operatorname{sech}^{4}t+\operatorname{sech}^{2}t\,\operatorname{tanh}^{2}t=\operatorname{sech}^{2}t\big(\operatorname{sech}^{2}t+\operatorname{tanh}^{2}t\big).
Usando a identidade \operatorname{sech}^{2}t+\operatorname{tanh}^{2}t=1 (que é equivalente a \operatorname{sinh}^{2}t+1=\operatorname{cosh}^{2}t dividida por \operatorname{cosh}^{2}t), obtemos
\operatorname{sech}^{4}t+\operatorname{sech}^{2}t\,\operatorname{tanh}^{2}t=\operatorname{sech}^{2}t.
Substituindo de volta no quadrado da norma:
\left\|\mathbf{R}^{\prime}(t)\right\|^{2}=1-2\operatorname{sech}^{2}t+\operatorname{sech}^{2}t=1-\operatorname{sech}^{2}t.
Como 1-\operatorname{sech}^{2}t=\operatorname{tanh}^{2}t, concluímos
\left\|\mathbf{R}^{\prime}(t)\right\|=\operatorname{tanh} t,
observando que estamos considerando t\ge 0 (ou o intervalo onde \operatorname{tanh} t\ge0), então a raiz positiva corresponde à rapidez.]

Passo 4

Integração para obter s(t). A definição do comprimento de arco desde 0 é
s(t)=\int_{0}^{t}\left\|\mathbf{R}^{\prime}(u)\right\|\,du=\int_{0}^{t}\operatorname{tanh} u\,du.
Reescrevo \operatorname{tanh} u=\dfrac{\operatorname{sinh} u}{\operatorname{cosh} u} e noto que \dfrac{d}{du}\big(\ln(\operatorname{cosh} u)\big)=\dfrac{\operatorname{sinh} u}{\operatorname{cosh} u}. Portanto a integral é imediata:
s(t)=\int_{0}^{t}\frac{\operatorname{sinh} u}{\operatorname{cosh} u}\,du=\big[\ln(\operatorname{cosh} u)\big]_{0}^{t}=\ln(\operatorname{cosh} t)-\ln(\operatorname{cosh} 0).
Como \operatorname{cosh} 0=1 e \ln 1=0, segue
s(t)=\ln(\operatorname{cosh} t).
Isso prova o item (a).

Passo 5

Discussão da invertibilidade e resolução explícita para t em função de s. Temos s=\ln(\operatorname{cosh} t). Exponenciando,
e^{s}=\operatorname{cosh} t=\frac{e^{t}+e^{-t}}{2}.
Multiplicando por 2e^{t} dá a equação quadrática em x=e^{t}:
2e^{s}e^{t}=e^{2t}+1 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-2e^{s}x+1=0.
As raízes são
x=e^{t}=e^{s}\pm\sqrt{e^{2s}-1}.
Para escolher o ramo correto note que e^{t}>0 sempre; além disso, para t\ge0 (caso natural ao medir comprimento a partir de 0) temos e^{t}\ge1 e \operatorname{cosh} t\ge1 implicando e^{s}\ge1. As duas raízes são recíprocas entre si (produto =1); a raiz maior que 1 é
e^{t}=e^{s}+\sqrt{e^{2s}-1},
portanto
t=\ln\!\left(e^{s}+\sqrt{e^{2s}-1}\right).
Definimos g(s) por essa expressão; assim g(s) é a inversa de s(t) no intervalo considerado, o que resolve a primeira parte de (b).

Passo 6

Substituição t=g(s) na curva e simplificação da segunda coordenada. A reparametrização dá
\mathbf{R}(g(s))=\big(g(s)-\operatorname{tanh}(g(s)),\;\operatorname{sech}(g(s))\big).
Primeiro simplifico a segunda coordenada y(s)=\operatorname{sech}(g(s)). Sea X=e^{g(s)}. Pelas fórmulas anteriores,
X=e^{g(s)}=e^{s}+\sqrt{e^{2s}-1}, \qquad X^{-1}=e^{-g(s)}=e^{s}-\sqrt{e^{2s}-1}.
Então
\operatorname{sech}(g(s))=\frac{2}{X+X^{-1}}=\frac{2}{2e^{s}}=e^{-s}.
Portanto a segunda coordenada simplifica para y(s)=e^{-s}.

Passo 7

Simplificação da função \operatorname{tanh}(g(s)) e da primeira coordenada. Usando X como acima,
\operatorname{tanh}(g(s))=\frac{X-X^{-1}}{X+X^{-1}}=\frac{2\sqrt{e^{2s}-1}}{2e^{s}}=\frac{\sqrt{e^{2s}-1}}{e^{s}}=\sqrt{1-e^{-2s}}.
Agora escrevo g(s) como \operatorname{tanh}^{-1} do valor \operatorname{tanh}(g(s)): como \operatorname{tanh}^{-1}(\operatorname{tanh}(g(s)))=g(s) (no ramo principal, válido enquanto |\operatorname{tanh}(g(s))|<1, o que ocorre aqui), obtemos
g(s)=\operatorname{tanh}^{-1}\!\big(\sqrt{1-e^{-2s}}\big).
Assim a primeira coordenada fica
x(s)=g(s)-\operatorname{tanh}(g(s))=\operatorname{tanh}^{-1}\!\big(\sqrt{1-e^{-2s}}\big)-\sqrt{1-e^{-2s}}.
Combinando com y(s)=e^{-s}, obtemos exatamente
\mathbf{R}_{1}(s)=\left(\operatorname{tanh}^{-1}\!\big(\sqrt{1-e^{-2s}}\big)-\sqrt{1-e^{-2s}},\; e^{-s}\right).

Passo 8

Verificação de que \mathbf{R}_{1}(s) é parametrização por comprimento de arco (velocidade unitária). Há duas maneiras claras; uso a razão via reparametrização inversa (mais curta e robusta):
  • Pela regra da cadeia, \dfrac{d}{ds}\mathbf{R}(g(s))=\mathbf{R}^{\prime}(g(s))\,g'(s).
  • A norma é \big\|\mathbf{R}^{\prime}(g(s))\big\|\cdot |g'(s)|.
  • Mas \big\|\mathbf{R}^{\prime}(t)\big\|=\operatorname{tanh} t, então avaliada em t=g(s) \operatorname{tanh}(g(s)).
  • Além disso, g é a inversa de s(t), logo g'(s)=\dfrac{1}{s'(g(s))}=\dfrac{1}{\operatorname{tanh}(g(s))} (a derivada da inversa é o inverso da derivada, desde que seja diferente de zero).
  • Multiplicando, a norma do vetor velocidade reparametrizado é
\big\|\mathbf{R}^{\prime}(g(s))\big\|\cdot |g'(s)|=\operatorname{tanh}(g(s))\cdot\frac{1}{\operatorname{tanh}(g(s))}=1.
Portanto \left\|\dfrac{d}{ds}\mathbf{R}_{1}(s)\right\|=1 para os s considerados, o que significa que \mathbf{R}_{1}(s) é uma parametrização por comprimento de arco.

Resposta

(a) s(t)=\ln(\operatorname{cosh} t).
(b) g(s)=\ln\!\left(e^{s}+\sqrt{e^{2s}-1}\right) é a inversa de s(t).
\mathbf{R}_{1}(s)=\left(\operatorname{tanh}^{-1}\!\big(\sqrt{1-e^{-2s}}\big)-\sqrt{1-e^{-2s}},\; e^{-s}\right) é a parametrização por comprimento de arco da tractriz.

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