Calcule o comprimento da curva C de parametrização r(t)=(e^t / 2 pi cos t, e^t / 2 pi sin t) do ponto (1,0) ao ponto (e, 0).

Passo 1

O enunciado nos dá a curva C parametrizada por
vec r(t)=l(e^t/(2pi)cos t,;e^t/(2pi)sin tr)
e pede o comprimento desde o ponto (1,0) até (e,0).
Aqui o conteúdo é o comprimento de curva paramétrica, dado por
L=integralt1^t2llVert vec r,'(t)rrVert,dt
Vamos então:
  1. Determinar o intervalo de t.
  2. Calcular vec r,'(t).
  3. Avaliar |vec r,'(t)|.
  4. Integrar e simplificar.

Passo 2

Primeiro, achamos os valores de t que geram (1,0) e (e,0).
Para t=0 temos
e^0/(2pi)=1,cos0=1,;sin0=0;Longrightarrow;(1,0)
Procuramos t tal que e^t/(2pi)=e, ou seja
t2pi=1Longrightarrow t=2pi,
e de fato cos(2pi)=1,;sin(2pi)=0 (e,0).
Logo o parâmetro varia em [0,2pi].

Passo 3

Derivamos vec r(t) componente a componente, usando produto e cadeia:
x(t)=e^t/(2pi)cos t, y(t)=e^t/(2pi)sin t
Então
x'(t) =e^t/(2pi)l(tfrac12picos t-sin tr), y'(t) =e^t/(2pi)l(tfrac12pisin t+cos tr)

Passo 4

O quadrado da velocidade é
|vec r,'(t)|^2 =x'(t)^2+y'(t)^2 =e^t/pil[l(tfrac12picos t-sin tr)^2 +l(tfrac12pisin t+cos tr)^2r]
No colchete use que cos^2t+sin^2t=1 e os termos cruzados se cancelam, obtendo
|vec r,'(t)|^2 =e^t/pil(1+tfrac14pi^2r) Longrightarrow |vec r,'(t)| =e^t/(2pi)raiz1+tfrac14pi^2

Passo 5

O comprimento é
L=integral0^2pi e^t/(2pi)raiz1+tfrac14pi^2;dt =raiz1+tfrac14pi^2;integral0^2pie^t/(2pi)dt
Como integral e^t/(2pi)dt=2pi,e^t/(2pi), temos
L =raiz1+tfrac14pi^2;l[2pi,e^t/(2pi)r]0^2pi =2pi,raiz1+tfrac14pi^2;(e-1)

Passo 6

Basta simplificar
2pi,raiz1+tfrac14pi^2 =2pi,raiz4pi^2+12pi =raiz4pi^2+1,
logo o comprimento final é
L=(e-1),raiz4pi^2+1

Resposta

L=(e-1),raiz4pi^2+1

Exercícios relacionados