Calcule o comprimento da curva
de parametrização
do ponto
ao ponto
.
Passo 1
O enunciado nos dá a curva
parametrizada por
e pede o comprimento desde o ponto
até
.
Aqui o conteúdo é o comprimento de curva paramétrica, dado por
Aqui o conteúdo é o comprimento de curva paramétrica, dado por
Vamos então:
- Determinar o intervalo de
.t - Calcular
.vec r,'(t) - Avaliar
.|vec r,'(t)| - Integrar e simplificar.
Passo 2
Primeiro, achamos os valores de
t que geram
(1,0) e
(e,0) .
Parat=0 temos
Para
Procuramos
t tal que
e^t/(2pi)=e , ou seja
e de fato
cos(2pi)=1,;sin(2pi)=0 dá
(e,0) .
Logo o parâmetro varia em[0,2pi] .
Logo o parâmetro varia em
Passo 3
Derivamos
vec r(t) componente a componente, usando produto e cadeia:
Então
Passo 4
O quadrado da velocidade é
No colchete use que
cos^2t+sin^2t=1 e os termos cruzados se cancelam, obtendo
Passo 5
O comprimento é
Como
integral e^t/(2pi)dt=2pi,e^t/(2pi) , temos
Passo 6
Basta simplificar
logo o comprimento final é