Reparametrize a curva pelo comprimento de arco a partir do ponto onde t=0 na direção crescente de t.
(e) r(t)=(a cos t, a sin t, c t).

Passo 1

O enunciado pede para reparametrizar a hélice dada por vec r(t)=(acos t,,asin t,,c t) em função do comprimento de arco s, tomando s=0 em t=0 e aumentando com t. Vamos precisar calcular a velocidade, obter s(t), inverter para t(s) e substituir na curva original.

Passo 2

Calcular a derivada da curva e sua norma para achar a velocidade constante. Temos
vec r,'(t)=(-asin t,,acos t,,c)
Logo a velocidade é
|vec r,'(t)|=raiz(-asin t)^2+(acos t)^2+c^2= raiza^2+c^2

Passo 3

Determinar o comprimento de arco desde t=0 até t. Como a velocidade é constante, temos
s(t)=integral0^t|vec r,'(u)|,du=integral0^traiza^2+c^2,du=raiza^2+c^2,t

Passo 4

Inverter a relação s(t) para obter t em função de s. Da expressão acima segue
t=sraiza^2+c^2

Passo 5

Substituir t(s) em vec r(t) para obter a reparametrização por arco. Assim:
vec R(s)=l(acosl(tfracsraiza^2+c^2r),,asinl(tfracsraiza^2+c^2r),,c,tfracsraiza^2+c^2r)

Resposta

A reparametrização pelo comprimento de arco é vec R(s)=(acos(tfracsraiza^2+c^2),,asin(tfracsraiza^2+c^2),,c,tfracsraiza^2+c^2), com s>=0.

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