Considere a cicloide de parametrização r(theta)=(a(theta-sin theta), a(1-cos theta)).
(a) Calcule o comprimento do arco da cicloide para 0 <= theta <= pi.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do arco da cicloide dada por
vec r(theta) = l(a(theta-sintheta),,a(1-costheta)r)
no intervalo 0<=theta<=pi.
Conteúdo: usamos a fórmula de comprimento de arco de curva paramétrica
L=integral0^pil|vec r,'(theta)r|,dtheta

Passo 2

Calcular a derivada vetorial vec r,'(theta).
vec r,'(theta) =l(a(1-costheta),,asinthetar)

Passo 3

Determinar o módulo l|vec r,'(theta)r|.
l|vec r,'(theta)r| =araiz(1-costheta)^2+sin^2theta =araiz2-2costheta =araiz4sin^2!l(tfractheta2r) =2asin!l(tfractheta2r)

Passo 4

Calcular a integral
L=integral0^pi2asin!l(tfractheta2r),dtheta
Fazendo a substituição u=tfractheta2, dtheta=2,du, os limites vão de u=0 a u=tfracpi2, então
L =2aintegral0^pi sin!l(tfractheta2r),dtheta =4aintegral0^pi/2sin u,du =4al[-cos ur]0^pi/2 =4a

Resposta

O comprimento do arco da cicloide em 0<=theta<=pi é 4a.

Exercícios relacionados