Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor de parâmetro t dado.
r(t)=2 sen t i+2 cos t j+tg t k, t=pi4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para encontrar o vetor tangente unitário T(t) no ponto onde o parâmetro t é pi4. Para isso, vamos precisar das ferramentas de derivadas de vetores e entender o que é um vetor tangente unitário. Basicamente, vamos derivar a função vetorial r(t) e normalizar essa derivada para obter T(t).

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função vetorial r(t). A função dada é:
r(t) = 2 sin t , i + 2 cos t , j + tg t , k
Para encontrar a derivada r,'(t), derivamos cada componente em relação a t:
r,'(t) = ddt[2 sin t] , i + ddt[2 cos t] , j + ddt[tg t] , k
Calculando as derivadas:
r,'(t) = 2 cos t , i - 2 sin t , j + sec^2 t , k

Passo 3

Agora, vamos substituir t = pi4 na derivada que acabamos de encontrar:
r,'(pi4) = 2 cos (pi4) , i - 2 sin (pi4) , j + sec^2 (pi4) , k
Sabemos que:
cos (pi4) = sin (pi4) = raiz22 e sec (pi4) = raiz2
Portanto:
r,'(pi4) = 2 cdot raiz22 , i - 2 cdot raiz22 , j + (raiz2)^2 , k = raiz2 , i - raiz2 , j + 2 , k

Passo 4

Agora, precisamos calcular a norma dessa derivada, que é o comprimento do vetor r,'(pi4). A fórmula da norma é:
|r,'(t)| = raiz(a)^2 + (b)^2 + (c)^2
Onde a, b e c são os componentes do vetor. Então:
|r,'(pi4)| = raiz(raiz2)^2 + (-raiz2)^2 + (2)^2 = raiz2 + 2 + 4 = raiz8 = 2raiz2

Passo 5

Finalmente, para encontrar o vetor tangente unitário T(pi4), dividimos cada componente de r,'(pi4) pela sua norma:
T(pi4) = r,'(pi4)|r,'(pi4)| = raiz2 , i - raiz2 , j + 2 , k2raiz2 = 12 , i - 12 , j + raiz22 , k

Resposta

O vetor tangente unitário no ponto t = pi4 é:
T(pi4) = 12 , i - 12 , j + raiz22 , k

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