Determine o vetor tangente unitário
no ponto com valor de parâmetro
dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para encontrar o vetor tangente unitário
no ponto onde o parâmetro
é
. Para isso, vamos precisar das ferramentas de derivadas de vetores e entender o que é um vetor tangente unitário. Basicamente, vamos derivar a função vetorial
e normalizar essa derivada para obter
.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a função vetorial
. A função dada é:
Para encontrar a derivada
, derivamos cada componente em relação a
:
Calculando as derivadas:
Passo 3
Agora, vamos substituir
na derivada que acabamos de encontrar:
Sabemos que:
Portanto:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a norma dessa derivada, que é o comprimento do vetor
. A fórmula da norma é:
Onde
,
e
são os componentes do vetor. Então:
Passo 5
Finalmente, para encontrar o vetor tangente unitário
, dividimos cada componente de
pela sua norma:
Resposta
O vetor tangente unitário no ponto
é: