Calcule o comprimento da curva r(t)=(2 t, \sqrt{5} \cos t, \sqrt{5} \sin t), com t \in[-5,5].

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica \displaystyle r(t) = \bigl(2t,\;\sqrt{5}\cos t,\;\sqrt{5}\sin t\bigr)
para t\in[-5,5] e pede o comprimento dessa curva.
O conteúdo aqui é comprimento de curva no espaço, usando a fórmula
L = \int_{a}^{b} \bigl\lVert r'(t)\bigr\rVert \,dt.

Passo 2

Vamos calcular a derivada r'(t).
Como
r(t) = \bigl(x(t),\,y(t),\,z(t)\bigr)
com x(t)=2t, y(t)=\sqrt{5}\cos t e z(t)=\sqrt{5}\sin t, temos
r'(t) = \bigl(x'(t),\,y'(t),\,z'(t)\bigr) = \bigl(2,\,-\sqrt{5}\,\sin t,\;\sqrt{5}\,\cos t\bigr).
Agora a norma:
\bigl\lVert r'(t)\bigr\rVert = \sqrt{2^2 + \bigl(-\sqrt{5}\sin t\bigr)^2 + \bigl(\sqrt{5}\cos t\bigr)^2} = \sqrt{4 + 5\sin^2 t + 5\cos^2 t} = \sqrt{4 + 5} = 3.

Passo 3

Como \lVert r'(t)\rVert = 3 é constante, o comprimento é
L = \int_{-5}^{5} 3 \,dt = 3 \,\bigl[\,t\bigr]_{-5}^{5} = 3\,(5 - (-5)) = 3 \times 10 = 30.

Resposta

30

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