Calcule o comprimento da curva r(t)=(2 t, \sqrt{5} \cos t, \sqrt{5} \sin t), com t \in[-5,5].
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica \displaystyle r(t) = \bigl(2t,\;\sqrt{5}\cos t,\;\sqrt{5}\sin t\bigr)
para t\in[-5,5] e pede o comprimento dessa curva.
O conteúdo aqui é comprimento de curva no espaço, usando a fórmula
L = \int_{a}^{b} \bigl\lVert r'(t)\bigr\rVert \,dt.
Passo 2
Vamos calcular a derivada r'(t).
Como
r(t) = \bigl(x(t),\,y(t),\,z(t)\bigr)
com x(t)=2t, y(t)=\sqrt{5}\cos t e z(t)=\sqrt{5}\sin t, temos