Encontre uma equação para a reta tangente à curva
\mathbf{r}(t)=(2 t, 4 \cos t, 2 \sin t)
no ponto correspondente a t=\frac{\pi}{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva espacial
\mathbf{r}(t) = (2t,\;4\cos t,\;2\sin t)
e pede a equação da reta tangente a essa curva no ponto correspondente a t = \tfrac{\pi}{2}.
O conteúdo envolvido é derivadas de funções vetoriais e parametrização de reta em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Para achar a direção da reta tangente, calculamos a derivada vetor
\mathbf{r}'(t) = \bigl(2,\;-4\sin t,\;2\cos t\bigr).

Passo 3

Agora avaliamos essa derivada em t = \tfrac{\pi}{2}:
\mathbf{r}'\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = \bigl(2,\;-4\sin(\tfrac{\pi}{2}),\;2\cos(\tfrac{\pi}{2})\bigr) = (2,\;-4,\;0).

Passo 4

Também precisamos do ponto de tangência, que é
\mathbf{r}\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = \bigl(2\cdot\tfrac{\pi}{2},\;4\cos(\tfrac{\pi}{2}),\;2\sin(\tfrac{\pi}{2})\bigr) = (\pi,\;0,\;2).

Passo 5

A reta tangente pode então ser parametrizada por um parâmetro u como
\mathbf{L}(u) = \mathbf{r}\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) + u\,\mathbf{r}'\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = (\pi,0,2) + u\,(2,-4,0).

Resposta

Em forma paramétrica,
\begin{cases} x = \pi + 2u,\\\ y = -4u,\\\ z = 2. \end{cases}

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