Encontre uma parametrização para a curva \mathcal{C} dada pela interseção do paraboloide z= x^{2}+y^{2} com o plano inclinado z=2 x+3.

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da curva \mathcal{C} que é a interseção do paraboloide z = x^{2} + y^{2} com o plano z = 2x + 3. O conteúdo é parametrização de curva em \mathbb{R}^{3} obtida resolvendo o sistema e reconhecendo a projeção no plano xy como uma curva plana (círculo), para depois usar coordenadas polares deslocadas.

Passo 2

Igualamos as duas expressões de z:
x^{2} + y^{2} \;=\; 2x + 3.
Para reconhecer a curva no plano xy, completamos o quadrado em x:
x^{2} - 2x + y^{2} = 3 \quad\Longrightarrow\quad (x - 1)^{2} + y^{2} = 4.
Isso mostra que a projeção de \mathcal{C} no plano xy é o círculo de centro (1,0) e raio 2.

Passo 3

Usamos uma parametrização trigonométrica para o círculo deslocado:
x(t) = 1 + 2\cos t, \quad y(t) = 2\sin t, \quad t\in[0,2\pi].
Em seguida, obtemos z(t) substituindo no plano z = 2x + 3:
z(t) = 2\bigl(1 + 2\cos t\bigr) + 3 = 5 + 4\cos t.

Resposta

A parametrização da curva \mathcal{C} é
\mathbf{r}(t) = \bigl(1 + 2\cos t,\;2\sin t,\;5 + 4\cos t\bigr), \quad t\in[0,2\pi].

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