Encontre uma parametrização para a curva
dada pela interseção do paraboloide
com o plano inclinado
.
Passo 1
O enunciado pede uma parametrização da curva
que é a interseção do paraboloide
com o plano
. O conteúdo é parametrização de curva em
obtida resolvendo o sistema e reconhecendo a projeção no plano
como uma curva plana (círculo), para depois usar coordenadas polares deslocadas.
Passo 2
Igualamos as duas expressões de
:
Para reconhecer a curva no plano
, completamos o quadrado em
:
Isso mostra que a projeção de
no plano
é o círculo de centro
e raio
.
Passo 3
Usamos uma parametrização trigonométrica para o círculo deslocado:
Em seguida, obtemos
substituindo no plano
:
Resposta
A parametrização da curva
é