Calcule o comprimento da curva.
x=13 raizy(y-3), 0 <= x <= 9.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva em coordenadas cartesianas pela função
x(y)=13raizy,(y-3)
no intervalo 0<= y<=9, e pede o comprimento de arco dessa curva. Para isso vamos usar a fórmula de comprimento em parametrização por y:
L=integraly=0^y=9raiz1+l(x'(y)r)^2;dy

Passo 2

Vamos calcular a derivada x'(y). Escrevendo
x(y)=13l(y^1/2,y -3,y^1/2r) =13l(y^3/2-3,y^1/2r)
temos
x'(y) =13l(tfrac32y^1/2-tfrac32y^-1/2r) =12l(y^1/2-y^-1/2r)

Passo 3

Agora computamos
l(x'(y)r)^2 =14l(y -2 + y^-1r)
e portanto
1+l(x'(y)r)^2 =1+14(y+y^-1-2) =y+y^-1+24

Passo 4

Note que
y+y^-1+2=l(raizy+tfrac1raizyr)^2,
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raiz1+l(x'(y)r)^2 =12l(raizy+tfrac1raizyr)
Assim o comprimento fica
L =integral0^912l(y^1/2+y^-1/2r)dy =12l[integral0^9y^1/2dy+integral0^9y^-1/2dyr]

Passo 5

Calculando cada integral:
integral0^9y^1/2dy =l[tfrac23y^3/2r]0^9 =tfrac23cdot27=18,
integral0^9y^-1/2dy =l[2,y^1/2r]0^9 =2cdot3=6
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L=12(18+6)=12

Resposta

O comprimento da curva é 12.

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