Determine se a função é contínua e/ou derivável no ponto indicado:
f(x)=llx^2, & x<1 x, & x >= 1 em x=1

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)= x^2, & x<1, x, & x>=1,
e pede para verificar continuidade e derivabilidade em x=1. Para isso, vamos usar o conceito de limite para continuidade e as derivadas laterais para derivabilidade.

Passo 2

Testando a continuidade em x=1:
limxto1^-f(x)=limxto1^-x^2=1,
limxto1^+f(x)=limxto1^+x=1,
e o valor da função em x=1 é f(1)=1. Como
limxto1^-f(x)=limxto1^+f(x)=f(1)=1,
a função é contínua em x=1.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas laterais em x=1.
A derivada à esquerda é
f'-(1)=limhto0^-f(1+h)-f(1)h =limhto0^-(1+h)^2-1h =limhto0^-(2+h)=2
A derivada à direita é
f'+(1)=limhto0^+f(1+h)-f(1)h =limhto0^+1+h-1h =limhto0^+1=1
Como f'-(1)=2neq1=f'+(1), não há derivada única em x=1, logo f não é derivável nesse ponto.

Resposta

A função é contínua em x=1 e não é derivável em x=1.

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