Determine as integrais abaixo:
integral sen^2(2 t) cos ^4(2 t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral sin^2(2t),cos^4(2t),dt.
Esse tipo de integral envolve potências de senos e cossenos, e a estratégia é usar identidades de redução de potência para expressar o integrando como soma de cossenos de múltiplos de t.

Passo 2

Usamos as identidades
sin^2(2t) = 1 - cos(4t)2,
cos^4(2t) = l(cos^2(2t)r)^2 = (1 + cos(4t)2)^2 = 3 + 4cos(4t) + cos(8t)8
Multiplicando-as, obtemos
sin^2(2t),cos^4(2t) = 1 - cos(4t)2;cdot;3 + 4cos(4t) + cos(8t)8 = 116,(1 - cos(4t)),(3 + 4cos(4t) + cos(8t))

Passo 3

Expandimos o produto e simplificamos usando
cos^2(4t)=tfrac1+cos(8t)2 e
cos(4t)cos(8t)=tfraccos(12t)+cos(4t)2.
Isso leva a
sin^2(2t)cos^4(2t) = 116l(1 + tfrac12cos(4t) - cos(8t) - tfrac12cos(12t)r)

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
integral sin^2(2t)cos^4(2t),dt = integral 116,dt + integral 132cos(4t),dt - integral 116cos(8t),dt - integral 132cos(12t),dt
Calculando cada parte, temos
integral 116,dt = t16, integral cos(4t),dt = sin(4t)4, integral cos(8t),dt = sin(8t)8, integral cos(12t),dt = sin(12t)12

Passo 5

Substituindo e simplificando coeficientes, o resultado final é
t16 + 132cdotsin(4t)4 - 116cdotsin(8t)8 - 132cdotsin(12t)12 + C = t16 + sin(4t)128 - sin(8t)128 - sin(12t)384 + C

Resposta

boxed integral sin^2(2t)cos^4(2t),dt = t16 + sin(4t)128 - sin(8t)128 - sin(12t)384 + C

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