Determine se a função é contínua e/ou derivável no ponto indicado:
f(x)=x^1 / 3 em x=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar a continuidade e a derivabilidade da função f(x)=x^1/3 em x=0. Para isso precisamos usar o conceito de limite para continuidade e o quociente diferencial para derivabilidade.

Passo 2

Verificamos a continuidade calculando limxto0f(x) e comparando com f(0). Como f(0)=0^1/3=0 e
limxto0x^1/3=0,
vemos que limxto0f(x)=f(0). Portanto f é contínua em x=0.

Passo 3

Para testar a derivabilidade em x=0 usamos o limite do quociente incremental:
limhto0f(0+h)-f(0)h =limhto0h^1/3-0h =limhto0h^-2/3
Como h^-2/3to+infty quando hto0, esse limite não existe finito. Logo f não é derivável em x=0.

Resposta

A função é contínua em x=0 e não é derivável em x=0.

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