Determine as integrais abaixo:
integral0^1 sen^4(12 pi x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^1sin^4l(tfracpi2xr),dx
O conteúdo que vamos usar é a redução de potência para expressar sin^4theta em termos de cossenos de múltiplos de theta.

Passo 2

Aplicamos a identidade de redução de potência:
sin^2theta = 1 - cos(2theta)2 Longrightarrow sin^4theta = l(sin^2thetar)^2 = l(1 - cos(2theta)2r)^2 = 1 - 2cos(2theta) + cos^2(2theta)4
Em seguida usamos de novo cos^2(2theta) = tfrac1 + cos(4theta)2 e obtemos
sin^4theta = 14l(1 - 2cos(2theta) + 1 + cos(4theta)2r) = 3 - 4cos(2theta) + cos(4theta)8

Passo 3

No nosso caso theta = tfracpi2x, então
sin^4l(tfracpi2xr) = 3 - 4cosl(pi xr) + cosl(2pi xr)8
Substituímos na integral:
integral0^1sin^4l(tfracpi2xr),dx = integral0^138,dx - integral0^14cos(pi x)8,dx + integral0^1cos(2pi x)8,dx

Passo 4

Integramos termo a termo:
integral0^138,dx = 38,x|0^1 = 38,
integral0^14cos(pi x)8,dx = 12integral0^1cos(pi x),dx = 12cdotsin(pi x)pi|0^1 = 12pil(sinpi - sin0r) = 0,
integral0^1cos(2pi x)8,dx = 18integral0^1cos(2pi x),dx = 18cdotsin(2pi x)2pi|0^1 = 116pil(sin2pi - sin0r) = 0

Passo 5

Somando os resultados dos três termos, obtemos
38 - 0 + 0 = 38

Resposta

38

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