Calcule o comprimento da curva:
, com
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa calcular o comprimento de uma curva definida por duas equações paramétricas: $ x = 1 + 3t^{2} $ e $ y = 4 + 2t^{3} $, onde $ t $ varia entre 0 e 1. Para isso, vamos usar o conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente a fórmula para o comprimento de uma curva paramétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva parametrizada por $ x(t) $ e $ y(t) $ no intervalo de $ t = a $ até $ t = b $. A fórmula é:
Vamos identificar $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $ para nossas funções.
Passo 3
Calculando a derivada de $ x $ em relação a $ t $:
Agora, a derivada de $ y $ em relação a $ t $:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula do comprimento da curva:
Simplificando dentro da raiz:
Então:
Passo 5
Fatorando o 36 de dentro da raiz para simplificar:
Portanto, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos resolver essa integral. Vamos fazer uma substituição para facilitar:
Seja $ u = 1 + t^{2} $, então $ du = 2t , dt $, ou seja, $ t , dt = \frac{du}{2} $.
Substituindo na integral:
Passo 7
Integrando $ u^{1/2} $:
Multiplicando pelo 3:
Portanto:
Passo 8
Substituindo os limites de integração:
Para $ t = 1 $:
Para $ t = 0 $:
Então:
Passo 9
Calculando os valores:
Substituindo:
Resposta
O comprimento da curva é aproximadamente 3,657 unidades.