Calcule o comprimento da curva: x=1+3 t^2 e y=4+2 t^3, com 0 <= t <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa calcular o comprimento de uma curva definida por duas equações paramétricas: $ x = 1 + 3t^{2} $ e $ y = 4 + 2t^{3} $, onde $ t $ varia entre 0 e 1. Para isso, vamos usar o conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente a fórmula para o comprimento de uma curva paramétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva parametrizada por $ x(t) $ e $ y(t) $ no intervalo de $ t = a $ até $ t = b $. A fórmula é:
x(t)
Vamos identificar $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $ para nossas funções.

Passo 3

Calculando a derivada de $ x $ em relação a $ t $:
x
Agora, a derivada de $ y $ em relação a $ t $:
t

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do comprimento da curva:
L = integral0^1 raiz(6t)^2 + (6t^2)^2 , dt
Simplificando dentro da raiz:
(6t)^2 = 36t^2 e (6t^2)^2 = 36t^4
Então:
L = integral0^1 raiz36t^2 + 36t^4 , dt

Passo 5

Fatorando o 36 de dentro da raiz para simplificar:
raiz36t^2 + 36t^4 = raiz36(t^2 + t^4) = 6raizt^2(1 + t^2) = 6traiz1 + t^2
Portanto, a integral fica:
L = 6 integral0^1 traiz1 + t^2 , dt

Passo 6

Agora, vamos resolver essa integral. Vamos fazer uma substituição para facilitar:
Seja $ u = 1 + t^{2} $, então $ du = 2t , dt $, ou seja, $ t , dt = \frac{du}{2} $.
Substituindo na integral:
u = 1 + t^2

Passo 7

Integrando $ u^{1/2} $:
u^1/2
Multiplicando pelo 3:
integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 + C
Portanto:
3 cdot 23 u^3/2 = 2u^3/2

Passo 8

Substituindo os limites de integração:
Para $ t = 1 $:
t = 1
Para $ t = 0 $:
u = 1 + (1)^2 = 2
Então:
t = 0

Passo 9

Calculando os valores:
2^3/2 = 2 raiz2 approx 2 times 1,4142 = 2,8284
1^3/2 = 1
Substituindo:
L = 2 (2,8284 - 1) = 2 times 1,8284 = 3,6568

Resposta

O comprimento da curva é aproximadamente 3,657 unidades.

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