Calcule a integral:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral de uma função vetorial no intervalo de $ t = 1 $ até $ t = 2 $. A função vetorial é $ \vec{F}(t) = t^{2} \vec{i} + t \sqrt{t-1} \vec{j} + \frac{1}{t} \vec{k} $. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como integrar funções escalares e aplicar isso em cada componente do vetor separadamente. Vamos dividir essa integral em partes para facilitar a resolução!
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a componente $ \vec{i} $, que é $ t^{2} $. A integral de $ t^{2} $ em relação a $ t $ é bem direta. A regra básica de integração para potências de $ t $ é:
Aplicando isso para $ n = 2 $:
Agora, vamos avaliar isso de $ t = 1 $ até $ t = 2 $:
Então, a parte da componente $ \vec{i} $ da integral é $ \frac{7}{3} \vec{i} $.
Passo 3
Agora, vamos para a componente $ \vec{j} $, que é $ t \sqrt{t-1} $. Vamos precisar usar uma substituição para resolver essa integral. Vamos deixar claro o passo a passo:
Primeiro, fazemos a substituição:
Além disso, podemos reescrever $ t $ em termos de $ u $:
Agora, substituímos na integral:
Integrando cada termo:
Juntando os resultados:
Voltando para $ t $:
Agora, avaliamos de $ t = 1 $ até $ t = 2 $:
Para $ t = 2 $:
Para $ t = 1 $:
Então, a parte da componente $ \vec{j} $ é $ \frac{16}{15} \vec{j} $.
Passo 4
Por último, vamos resolver a componente $ \vec{k} $, que é $ \frac{1}{t} $. A integral de $ \frac{1}{t} $ em relação a $ t $ é a função logarítmica natural:
Avaliando de $ t = 1 $ até $ t = 2 $:
Então, a parte da componente $ \vec{k} $ é $ \ln 2 \vec{k} $.
Resposta
A integral calculada é: