Calcule o comprimento da curva.
x=e^{t}+e^{-t}, y=5-2 t, 0 \leqslant t \leqslant 3

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco de uma curva paramétrica dada por
x = e^{t} + e^{-t}, \quad y = 5 - 2t, \quad 0 \le t \le 3.
O conteúdo é comprimento de curva em parametrização, que usa a fórmula
L = \int_{t_0}^{t_1} \sqrt{\bigl(\tfrac{dx}{dt}\bigr)^2 + \bigl(\tfrac{dy}{dt}\bigr)^2}\,dt.

Passo 2

Calculamos as derivadas em relação a t:
\frac{dx}{dt} = e^{t} - e^{-t}, \qquad \frac{dy}{dt} = -2.

Passo 3

Montamos o integrando e simplificamos:
\bigl(\tfrac{dx}{dt}\bigr)^2 + \bigl(\tfrac{dy}{dt}\bigr)^2 = (e^{t} - e^{-t})^2 + (-2)^2 = e^{2t} - 2 + e^{-2t} + 4 = e^{2t} + 2 + e^{-2t} = \bigl(e^{t} + e^{-t}\bigr)^2.
Logo,
\sqrt{\bigl(\tfrac{dx}{dt}\bigr)^2 + \bigl(\tfrac{dy}{dt}\bigr)^2} = e^{t} + e^{-t}.

Passo 4

Integramos de 0 a 3:
L = \int_{0}^{3} \bigl(e^{t} + e^{-t}\bigr)\,dt = \Bigl[e^{t} - e^{-t}\Bigr]_{0}^{3} = \bigl(e^{3} - e^{-3}\bigr) - \bigl(e^{0} - e^{0}\bigr) = e^{3} - e^{-3}.

Resposta

O comprimento da curva é
L = e^{3} - e^{-3}.

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