Calcule o comprimento da curva.
x=t \operatorname{sen} t, y=t \cos t, 0 \leq t \leq 1

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva parametrizada por
x(t)=t\sin t,\quad y(t)=t\cos t,\quad 0\le t\le1.
O conteúdo aqui é o comprimento de uma curva no plano definido por uma parametrização. Para resolver, vamos usar a fórmula
L=\int_{a}^{b}\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}}\;dt.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas:
x'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t\sin t\bigr)=\sin t + t\cos t,
y'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t\cos t\bigr)=\cos t - t\sin t.
Agora somamos os quadrados:
\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2} =(\sin t + t\cos t)^{2}+(\cos t - t\sin t)^{2}.
Expandindo e somando, os termos mistos cancelam, restando
\sin^{2}t+\cos^{2}t \;+\; t^{2}(\cos^{2}t+\sin^{2}t)\;=\;1+t^{2}.
Logo o integrando fica \sqrt{1+t^{2}}.

Passo 3

O comprimento é
L=\int_{0}^{1}\sqrt{1+t^{2}}\;dt.
A primitiva de \sqrt{1+t^{2}} é
\frac{t}{2}\sqrt{1+t^{2}}+\frac{1}{2}\ln\bigl(t+\sqrt{1+t^{2}}\bigr).
Portanto,
L=\left[\frac{t}{2}\sqrt{1+t^{2}}+\frac{1}{2}\ln\bigl(t+\sqrt{1+t^{2}}\bigr)\right]_{0}^{1}.

Passo 4

Avaliaremos nos limites:
em t=1
\frac{1}{2}\sqrt{2}+\frac{1}{2}\ln\bigl(1+\sqrt{2}\bigr),
e em t=0 dá zero, pois \ln(0+1)=0. Assim
L=\frac{1}{2}\Bigl(\sqrt{2}+\ln\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)\Bigr).

Resposta

L=\frac{1}{2}\bigl(\sqrt{2}+\ln(1+\sqrt{2})\bigr).

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