(2,0 pontos) Calcule os limites laterais em \mathrm{x}=1, sendo: f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x-\sqrt{x}}{x-1} \text {, se } x<1 \\\ \frac{\sqrt{x+1}-2}{-1+x}, \text { se } x \geq 1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede os limites laterais de f\) em \(x=1\). A função dada é por partes: \[f(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{x-\sqrt{x}}{x-1}, & \text{se } x<1,\\[6pt] \displaystyle \frac{\sqrt{x+1}-2}{-1+x}, & \text{se } x\ge 1. \end{cases}
As perguntas são:
\text{(A) } \lim_{x\to 1^-} f(x) \qquad\text{e}\qquad \text{(B) } \lim_{x\to 1^+} f(x).
Informações relevantes do enunciado: temos duas expressões diferentes para f(x)\] dependendo se \(x<1 ou x\ge1. Precisamos analisar cada lado separadamente.]

Passo 2

Breve aula sobre o que é um limite lateral: \lim_{x\to 1^-} f(x) é o valor (ou comportamento) de f(x) quando x se aproxima de 1 pela esquerda (valores menores que 1); \lim_{x\to 1^+} f(x) é quando x se aproxima de 1 pela direita (valores maiores que 1). Procedimento prático:
  1. Tentar substituir x=1 direto na expressão apropriada.
  2. Se aparecer 0/0 (indeterminação), tentar simplificar algébrica ou usar conjugado/fatoração para eliminar a indeterminação.
  3. Se o numerador tende a um não zero e o denominador tende a 0, então o limite diverge para +\infty ou -\infty dependendo dos sinais.
    Vou aplicar isso passo a passo em cada lado.

Passo 3

Cálculo de \lim_{x\to 1^-} \dfrac{x-\sqrt{x}}{x-1}.
  1. Substituindo x=1 diretamente, o numerador dá 1-\sqrt{1}=0 e o denominador dá 1-1=0: temos 0/0, indeterminação. Precisamos simplificar.
  2. Observação e fatoração útil: escrevemos x como (\sqrt{x})^2. Então
x-1 = (\sqrt{x})^2 - 1 = (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1).
E podemos escrever o numerador como
x-\sqrt{x} = \sqrt{x}\,\big(\sqrt{x}-1\big).
  1. Substituindo essas fatorações na fração:
\frac{x-\sqrt{x}}{x-1} = \frac{\sqrt{x}\,(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}.
Como estamos considerando x<1 e x\neq1 (estamos aproximando 1 pela esquerda), o fator \sqrt{x}-1 é diferente de zero e podemos cancelar \sqrt{x}-1, obtendo
\frac{x-\sqrt{x}}{x-1} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\quad\text{para }x\neq1.
  1. Agora essa expressão é contínua na vizinhança de x=1, então podemos substituir x\to1 diretamente:
\lim_{x\to 1^-} \frac{x-\sqrt{x}}{x-1} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1}+1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}.

Passo 4

Comentário didático extra sobre o que fizemos (para você repetir na prova): em limites que envolvem raízes quadradas e dão 0/0, uma técnica poderosa é expressar x como (\sqrt{x})^2 e fatorar x-1 como (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1). Isso evita cálculo de derivadas e funciona bem sem calculadora. Exemplo rápido similar: \lim_{x\to1}\dfrac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\dfrac{1}{\sqrt{1}+1}=\dfrac{1}{2}, usando exatamente a mesma fatoração/razão.

Passo 5

Cálculo de \lim_{x\to 1^+} \dfrac{\sqrt{x+1}-2}{-1+x}.
  1. Substituindo x=1 diretamente, o numerador dá \sqrt{1+1}-2=\sqrt{2}-2, que é um número não nulo (aproximadamente -0,5858). O denominador dá 1-1=0. Logo a expressão tende a algo do tipo “não zero dividido por algo que vai para zero”. Isso significa que o limite não é finito; ele diverge para +\infty ou -\infty.
  2. Precisamos verificar o sinal do quociente quando x se aproxima de 1 pela direita (valores x>1 muito próximos de 1). Para x>1 suficiente e próximo de 1:
  • O denominador -1+x = x-1 é positivo e pequeno.
  • O numerador \sqrt{x+1}-2 para x perto de 1 vale aproximadamente \sqrt{2}-2, que é negativo (porque \sqrt{2}\approx1,414<2). Na verdade, para 1<x<3 temos \sqrt{x+1}<2, então o numerador permanece negativo até x=3.
  1. Assim, para x\to1^+ o numerador é um número negativo aproximado e o denominador é um número positivo muito pequeno, logo a razão é negativa com módulo crescendo sem limite. Portanto
\lim_{x\to 1^+} \frac{\sqrt{x+1}-2}{x-1} = -\infty.
(mais formal: dado M>0, para x suficientemente próximo de 1 à direita temos \dfrac{\sqrt{x+1}-2}{x-1} < -M, provando a divergência para -\infty.)

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to 1^-} f(x)=\frac{1}{2}
\displaystyle \lim_{x\to 1^+} f(x)=-\infty

Exercícios relacionados