(2,0 pontos) Calcule os limites laterais em \mathrm{x}=1, sendo: f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x-\sqrt{x}}{x-1} \text {, se } x<1 \\\ \frac{\sqrt{x+1}-2}{-1+x}, \text { se } x \geq 1\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede os limites laterais de f\) em \(x=1\). A função dada é por partes:
\[f(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{x-\sqrt{x}}{x-1}, & \text{se } x<1,\\[6pt] \displaystyle \frac{\sqrt{x+1}-2}{-1+x}, & \text{se } x\ge 1. \end{cases}
Informações relevantes do enunciado: temos duas expressões diferentes para f(x)\] dependendo se \(x<1 ou x\ge1. Precisamos analisar cada lado separadamente.]
Passo 2
Breve aula sobre o que é um limite lateral: \lim_{x\to 1^-} f(x) é o valor (ou comportamento) de f(x) quando x se aproxima de 1 pela esquerda (valores menores que 1); \lim_{x\to 1^+} f(x) é quando x se aproxima de 1 pela direita (valores maiores que 1). Procedimento prático:
Tentar substituir x=1 direto na expressão apropriada.
Se aparecer 0/0 (indeterminação), tentar simplificar algébrica ou usar conjugado/fatoração para eliminar a indeterminação.
Se o numerador tende a um não zero e o denominador tende a 0, então o limite diverge para +\infty ou -\infty dependendo dos sinais.
Vou aplicar isso passo a passo em cada lado.
Passo 3
Cálculo de \lim_{x\to 1^-} \dfrac{x-\sqrt{x}}{x-1}.
Substituindo x=1 diretamente, o numerador dá 1-\sqrt{1}=0 e o denominador dá 1-1=0: temos 0/0, indeterminação. Precisamos simplificar.
Observação e fatoração útil: escrevemos x como (\sqrt{x})^2. Então
Como estamos considerando x<1 e x\neq1 (estamos aproximando 1 pela esquerda), o fator \sqrt{x}-1 é diferente de zero e podemos cancelar \sqrt{x}-1, obtendo
Comentário didático extra sobre o que fizemos (para você repetir na prova): em limites que envolvem raízes quadradas e dão 0/0, uma técnica poderosa é expressar x como (\sqrt{x})^2 e fatorar x-1 como (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1). Isso evita cálculo de derivadas e funciona bem sem calculadora. Exemplo rápido similar: \lim_{x\to1}\dfrac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\dfrac{1}{\sqrt{1}+1}=\dfrac{1}{2}, usando exatamente a mesma fatoração/razão.
Passo 5
Cálculo de \lim_{x\to 1^+} \dfrac{\sqrt{x+1}-2}{-1+x}.
Substituindo x=1 diretamente, o numerador dá \sqrt{1+1}-2=\sqrt{2}-2, que é um número não nulo (aproximadamente -0,5858). O denominador dá 1-1=0. Logo a expressão tende a algo do tipo “não zero dividido por algo que vai para zero”. Isso significa que o limite não é finito; ele diverge para +\infty ou -\infty.
Precisamos verificar o sinal do quociente quando x se aproxima de 1 pela direita (valores x>1 muito próximos de 1). Para x>1 suficiente e próximo de 1:
O denominador -1+x = x-1 é positivo e pequeno.
O numerador \sqrt{x+1}-2 para x perto de 1 vale aproximadamente \sqrt{2}-2, que é negativo (porque \sqrt{2}\approx1,414<2). Na verdade, para 1<x<3 temos \sqrt{x+1}<2, então o numerador permanece negativo até x=3.
Assim, para x\to1^+ o numerador é um número negativo aproximado e o denominador é um número positivo muito pequeno, logo a razão é negativa com módulo crescendo sem limite. Portanto