(a) Utilizando somente as propriedades das funções trigonométricas e o teorema do confronto, mostre que
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x}=0 \quad \text { e } \quad \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x^{2}}=\frac{1}{2} .
(b) Supondo que a função cosseno pode ser escrita na forma \cos (x)=A+B x+C x^{2}+R(x), onde R satisfaz
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{R(x)}{x^{2}}=0,
e utilizando somente os dois limites do item (a), encontre a melhor aproximação quadrática da função cosseno na vizinhança de x=0. Escolha uma das duas questões abaixo para responder.

Passo 1

O enunciado nos diz que podemos escrever
\cos(x)=A+B\,x+C\,x^{2}+R(x),
onde \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{R(x)}{x^{2}}=0.
Queremos encontrar A, B e C usando apenas os limites
\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}=0 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}=\frac12.

Passo 2

Para x=0 temos \cos(0)=1. Avaliando a expansão em x=0
1=\cos(0)=A+B\cdot0+C\cdot0^{2}+R(0).
Como \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{R(x)}{x^{2}}=0 implica R(0)=0, segue A=1.

Passo 3

Agora subtraímos 1 e dividimos por x:
\frac{\cos(x)-1}{x} =\frac{A-1}{x}+B+C\,x+\frac{R(x)}{x} =B+C\,x+\frac{R(x)}{x},
porque A-1=0. Fazendo x\to0, o termo \tfrac{R(x)}{x} vai a 0 (pois \tfrac{R(x)}{x^{2}}\to0) e C\,x\to0. Usando
\lim_{x\to0}\frac{\cos(x)-1}{x} =-\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}=0,
concluímos B=0.

Passo 4

Finalmente subtraímos 1, dividimos por x^{2} e usamos o segundo limite:
\frac{\cos(x)-1}{x^{2}} =\frac{A-1}{x^{2}}+\frac{B}{x}+C+\frac{R(x)}{x^{2}} =C+\frac{R(x)}{x^{2}}.
Como \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{R(x)}{x^{2}}=0 e
\lim_{x\to0}\frac{\cos(x)-1}{x^{2}} =-\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^{2}} =-\tfrac12,
temos
C=-\frac12.

Resposta

A melhor aproximação quadrática de \cos(x) em torno de x=0 é
\cos(x)\approx 1-\frac{x^{2}}{2}.

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