(a) Utilizando somente as propriedades das funções trigonométricas e o teorema do confronto, mostre que
(b) Supondo que a função cosseno pode ser escrita na forma
, onde
satisfaz
e utilizando somente os dois limites do item (a), encontre a melhor aproximação quadrática da função cosseno na vizinhança de
. Escolha uma das duas questões abaixo para responder.
Passo 1
O enunciado nos diz que podemos escrever
onde
.
Queremos encontrar ,
e
usando apenas os limites
Queremos encontrar
Passo 2
Para
temos
. Avaliando a expansão em
dá
Como
implica
, segue
Passo 3
Agora subtraímos 1 e dividimos por
:
porque
. Fazendo
, o termo
vai a 0 (pois
) e
. Usando
concluímos
Passo 4
Finalmente subtraímos 1, dividimos por
e usamos o segundo limite:
Como
e
temos
Resposta
A melhor aproximação quadrática de
em torno de
é