(a) Utilizando o teorema da mudança de variáveis em integrais definidas, mostre que \int_{0}^{x} \frac{d u}{1+u^{2}}=\arctan x.
(b) A partir do item anterior, mostre que, para |x| \leq 1, \arctan x=\sum_{k=0}^{+\infty}(-1)^{k} \frac{x^{2 k+1}}{2 k+1}.
(c) A partir do item anterior, mostre que \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n} \frac{4}{2 n+1}=\pi.

Passo 1

O enunciado pede três coisas relacionadas a integrais e séries de potências:
(a) mostrar que
\int_{0}^{x}\frac{du}{1+u^{2}}=\arctan x,
usando o Teorema Fundamental do Cálculo;
(b) deduzir, a partir de (a), a expansão em série de Maclaurin de \arctan x para |x|\le1;
(c) usar essa série em x=1 para provar que \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}\frac{4}{2n+1}=\pi.
Vamos precisar do fato de que \tfrac{d}{dx}\arctan x=\tfrac1{1+x^2}, da série geométrica e da integração termo a termo.

Passo 2

Defina
G(x)=\int_{0}^{x}\frac{du}{1+u^{2}}.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
G'(x)=\frac{1}{1+x^{2}} \quad\text{e sabemos também que}\quad \frac{d}{dx}(\arctan x)=\frac{1}{1+x^{2}}.é
Como G(0)=0 e \arctan0=0, conclui-se que G(x)=\arctan x. Portanto
\int_{0}^{x}\frac{du}{1+u^{2}}=\arctan x.

Passo 3

Para |x|\le1, use a série geométrica em u^2:
\frac{1}{1+u^2}=\sum_{k=0}^{+\infty}(-1)^k u^{2k},
que converge uniformemente em [-1,1]. Integramos termo a termo:
\int_{0}^{x}\frac{du}{1+u^2} =\int_{0}^{x}\sum_{k=0}^{+\infty}(-1)^k u^{2k}\,du =\sum_{k=0}^{+\infty}(-1)^k\int_{0}^{x}u^{2k}\,du =\sum_{k=0}^{+\infty}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}.
Pelo Passo 2, o lado esquerdo é \arctan x, logo
\arctan x =\sum_{k=0}^{+\infty}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}.

Passo 4

Tomando x=1 na série acima, como \arctan1=\tfrac{\pi}{4}, obtém-se
\frac{\pi}{4} =\sum_{k=0}^{+\infty}(-1)^k\frac{1}{2k+1}.
Multiplicando ambos os lados por 4, chega-se a
\sum_{k=0}^{+\infty}(-1)^k\frac{4}{2k+1} =\pi.

Resposta

(a) \displaystyle \int_{0}^{x}\frac{du}{1+u^{2}}=\arctan x.
(b) \displaystyle \arctan x=\sum_{k=0}^{+\infty}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1} para |x|\le1.
(c) \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}\frac{4}{2n+1}=\pi.

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