(a) Utilizando o teorema da mudança de variáveis em integrais definidas, mostre que
.
(b) A partir do item anterior, mostre que, para
.
(c) A partir do item anterior, mostre que
.
(b) A partir do item anterior, mostre que, para
(c) A partir do item anterior, mostre que
Passo 1
O enunciado pede três coisas relacionadas a integrais e séries de potências:
(a) mostrar que
(a) mostrar que
usando o Teorema Fundamental do Cálculo;
(b) deduzir, a partir de (a), a expansão em série de Maclaurin de para
;
(c) usar essa série em para provar que
.
Vamos precisar do fato de que , da série geométrica e da integração termo a termo.
(b) deduzir, a partir de (a), a expansão em série de Maclaurin de
(c) usar essa série em
Vamos precisar do fato de que
Passo 2
Defina
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
Como
e
, conclui-se que
. Portanto
Passo 3
Para
, use a série geométrica em
:
que converge uniformemente em
. Integramos termo a termo:
Pelo Passo 2, o lado esquerdo é
, logo
Passo 4
Tomando
na série acima, como
, obtém-se
Multiplicando ambos os lados por
, chega-se a
Resposta
(a)
.
(b) para
.
(c) .
(b)
(c)