Calcule o comprimento da curva x=t^{2}, y=t^{3} para 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x(t)=t^{2},\quad y(t)=t^{3},\quad 0\le t\le1
e pede o comprimento de arco. O conteúdo é comprimento de curva em parametrização (!arc length!), cuja fórmula é
L=\int_{a}^{b}\sqrt{\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)^{2}+\Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)^{2}}\;dt.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas de x e y em relação a t:
\frac{dx}{dt}=2t, \qquad \frac{dy}{dt}=3t^{2}.

Passo 3

Substituindo na fórmula do comprimento, o integrando fica
\sqrt{(2t)^{2}+(3t^{2})^{2}} =\sqrt{4t^{2}+9t^{4}} =t\,\sqrt{4+9t^{2}},
portanto
L=\int_{0}^{1}t\sqrt{4+9t^{2}}\;dt.

Passo 4

Para resolver a integral, use a substituição
u=4+9t^{2}\quad\Rightarrow\quad du=18t\,dt \quad\Longrightarrow\quad t\,dt=\frac{du}{18}.
Os limites em u são u(0)=4 e u(1)=13, logo
L=\int_{t=0}^{1}t\sqrt{4+9t^{2}}\,dt =\frac{1}{18}\int_{u=4}^{13}u^{1/2}\,du.

Passo 5

Agora integramos em u:
\frac{1}{18}\int u^{1/2}\,du =\frac{1}{18}\cdot\frac{u^{3/2}}{\tfrac32} =\frac{1}{27}\,u^{3/2}
avaliado de 4 a 13:
L =\frac{1}{27}\Bigl(13^{3/2}-4^{3/2}\Bigr) =\frac{1}{27}\bigl(13\sqrt{13}-8\bigr).

Resposta

L=\frac{13\sqrt{13}-8}{27}.

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