Calcule
onde R é a região semi-circular limitada pelo eixo
e pela curva
Resp:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
onde
é a semicircunferência de raio 1 acima do eixo
. Vamos usar coordenadas polares para aproveitar a simetria circular.
Passo 2
Em coordenadas polares, fazemos
e o elemento de área é
. Além disso,
.
Passo 3
A região
corresponde a
pois é a metade superior do disco de raio 1. Assim a integral fica
Passo 4
Calcular primeiro a integral em
, usando
com
. Então
Passo 5
Agora integramos em
:
Multiplicando os resultados, obtemos