Calcule \iint_{R}^{!} e^{x^{2}+y^{2}} d y d x onde R é a região semi-circular limitada pelo eixo x e pela curva y= \sqrt{1-x^{2}} . \quad Resp: \frac{\pi}{2}(e-1)

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{R} e^{x^{2}+y^{2}}\,dy\,dx
onde R é a semicircunferência de raio 1 acima do eixo x. Vamos usar coordenadas polares para aproveitar a simetria circular.

Passo 2

Em coordenadas polares, fazemos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
e o elemento de área é dA = r\,dr\,d\theta. Além disso, x^{2}+y^{2}=r^{2}.

Passo 3

A região R corresponde a
0 \le r \le 1,\quad 0 \le \theta \le \pi,
pois é a metade superior do disco de raio 1. Assim a integral fica
\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1} e^{r^{2}}\;r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calcular primeiro a integral em r, usando u=r^{2} com du=2r\,dr. Então
\int_{0}^{1} e^{r^{2}}\,r\,dr = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{u}\,du = \frac{1}{2}\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{1} = \frac{e-1}{2}.

Passo 5

Agora integramos em \theta:
\int_{0}^{\pi} d\theta = \pi.
Multiplicando os resultados, obtemos
\iint_{R} e^{x^{2}+y^{2}}\,dA = \pi \cdot \frac{e-1}{2} = \frac{\pi}{2}(e-1).

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2}(e-1)

Exercícios relacionados