Uma placa triangular com base 2 m e altura 3 m está submersa verticalmente na água, com a base para cima e a 1 m abaixo da superfície. Calcule a força hidrostática ( \rho=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, g=9.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ).

Passo 1

O enunciado pede a força hidrostática sobre uma placa triangular submersa verticalmente, com base de comprimento 2 m voltada para cima, a 1 m abaixo da superfície, e altura total 3 m. O conteúdo é pressão em líquido em função da profundidade e integração para achar força resultante.

Passo 2

Escolhemos um eixo vertical y medido a partir da superfície da água, de modo que a base da placa está em y=1 m e o vértice inferior em y=1+3=4 m. A largura da placa varia linearmente de 2 m em y=1 até 0 em y=4. Logo, para 1\le y\le4,
w(y)=2\;\frac{4-y}{4-1}=\frac{2(4-y)}{3}.

Passo 3

A pressão a uma profundidade y é
p(y)=\rho\,g\,y,
então um elemento horizontal de altura dy e largura w(y) sofre força diferencial
dF=p(y)\,w(y)\,dy=\rho\,g\,y\;\frac{2(4-y)}{3}\,dy.

Passo 4

Integramos de y=1 até y=4:
F=\int_{1}^{4}dF =\rho\,g\;\frac{2}{3}\int_{1}^{4}\bigl(4y-y^2\bigr)\,dy =\rho\,g\;\frac{2}{3}\Bigl[2y^2-\frac{y^3}{3}\Bigr]_{1}^{4}.
Calculando a parte numérica da integral:
\Bigl[2y^2-\tfrac{y^3}{3}\Bigr]_{1}^{4} =\bigl(32-\tfrac{64}{3}\bigr)-\bigl(2-\tfrac{1}{3}\bigr) = \tfrac{32\cdot3-64}{3}-\tfrac{5}{3} = \tfrac{96-64-5}{3}=\tfrac{27}{3}=9,
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F=\rho\,g\;\frac{2}{3}\times9=6\,\rho\,g.

Passo 5

Substituindo \rho=1000 kg/ m^{3} e g=9.8 m/ s^{2}:
F=6\times1000\times9.8=58800\\ \text{N}.

Resposta

A força hidrostática sobre a placa é 5{,}88\times10^{4} N.

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