Calcule o comprimento da curva y=\frac{2}{3} x^{3 / 2} de x=0 a x=3.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva
y = \frac{2}{3}x^{3/2}
no intervalo x\in[0,3]. Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco de uma função y(x):
L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\;dx.

Passo 2

Calculamos a derivada de y. Como
y(x) = \tfrac{2}{3}\,x^{3/2},
temos
y'(x) = \tfrac{2}{3}\cdot \tfrac{3}{2}\,x^{1/2} = x^{1/2}.

Passo 3

Substituímos y'(x) na fórmula do comprimento:
L = \int_{0}^{3} \sqrt{1 + \bigl(x^{1/2}\bigr)^{2}}\;dx = \int_{0}^{3} \sqrt{1 + x}\;dx.

Passo 4

Para computar \displaystyle \int \sqrt{1 + x}\;dx, fazemos a mudança u = 1 + x, du = dx. Assim
\int \sqrt{1 + x}\;dx = \int u^{1/2}\;du = \frac{2}{3}\,u^{3/2} = \frac{2}{3}\,(1 + x)^{3/2}.

Passo 5

Avaliando de 0 a 3:
L = \left[\frac{2}{3}\,(1 + x)^{3/2}\right]_{0}^{3} = \frac{2}{3}\bigl(4^{3/2} - 1^{3/2}\bigr) = \frac{2}{3}\,(8 - 1) = \frac{14}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{14}{3}

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