Uma placa retangular de 2 m de largura e 3 m de altura está submersa verticalmente na água, com a base a 4 m abaixo da superfície. Calcule a força hidrostática ( \rho=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, g=9.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ).

Passo 1

O enunciado nos dá uma placa retangular de largura b=2 m e altura h=3 m submersa verticalmente, com a base a 4 m abaixo da superfície. O objetivo é calcular a força hidrostática total exercida pela água nessa placa usando a expressão da pressão em função da profundidade e integração ao longo da altura.

Passo 2

Definimos um eixo vertical y orientado para baixo a partir da superfície da água. Assim, o topo da placa fica a profundidade
y_1 = 4 - 3 = 1\text{ m}
e a base a
y_2 = 4\text{ m}.

Passo 3

A pressão a uma profundidade y é dada por
p(y) = \rho\,g\,y.
Considerando uma faixa horizontal infinitesimal de espessura \mathrm{d}y e largura b, sua área é
\mathrm{d}A = b\,\mathrm{d}y.
Logo, a força sobre essa faixa é
\mathrm{d}F = p(y)\,\mathrm{d}A = \rho\,g\,y\,b\,\mathrm{d}y.

Passo 4

Para obter a força total, integramos \mathrm{d}F de y_1 a y_2:
F = \int_{y_1}^{y_2} \rho\,g\,b\,y\,\mathrm{d}y = \rho\,g\,b \int_{1}^{4} y\,\mathrm{d}y = \rho\,g\,b \left[\frac{y^2}{2}\right]_{1}^{4}.

Passo 5

Substituindo \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}, g=9.8\\ \mathrm{m/s^2} e b=2\\ \mathrm{m}:
F = 1000 \times 9.8 \times 2 \times \frac{4^2 - 1^2}{2} = 19600 \times \frac{16 - 1}{2} = 19600 \times 7.5 = 147000\\ \mathrm{N}.

Resposta

F = 1{,}47 \times 10^5\\ \mathrm{N}

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