Use a regra da cadeia para achar
e
.
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função
, onde
e
também dependem de
e
:
Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e a
, ou seja,
e
. Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é uma ferramenta poderosa para derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como
depende de
e
. Vemos que
é função de
e
, que por sua vez são funções de
e
. Então, para encontrar
, por exemplo, precisamos considerar como
muda quando
muda, mantendo
constante.
A regra da cadeia para derivadas parciais nos diz que:
E de maneira similar para
:
Passo 3
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais passo a passo.
Primeiro, vamos achar
e
.
Para
:
Agora, vamos calcular
,
,
e
:
Passo 4
Agora, podemos substituir todas essas derivadas na fórmula da regra da cadeia para encontrar
e
.
Para
:
Substituindo:
Fatorando
:
Para
:
Substituindo:
Fatorando
:
Resposta
As derivadas parciais são: