Use a regra da cadeia para achar partial zpartial s e partial zpartial t. z=raizx e^x y, x=1+s t, y=s^2-t^2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função , onde e também dependem de e :
Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e a , ou seja, e . Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é uma ferramenta poderosa para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como partial zpartial s = partial zpartial x cdot partial xpartial s + partial zpartial y cdot partial ypartial s depende de partial zpartial t = partial zpartial x cdot partial xpartial t + partial zpartial y cdot partial ypartial t e . Vemos que é função de e , que por sua vez são funções de e . Então, para encontrar , por exemplo, precisamos considerar como muda quando muda, mantendo constante.
A regra da cadeia para derivadas parciais nos diz que:
E de maneira similar para :

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais passo a passo.
Primeiro, vamos achar partial zpartial x = 12 raizx , e^x y + raizx cdot e^x y cdot y = e^x y ( 12 raizx + y raizx ) e partial zpartial y = raizx cdot e^x y cdot x = x raizx , e^x y .
Para partial xpartial s = t :
partial ypartial s = 2 s
partial xpartial t = s
Agora, vamos calcular partial ypartial t = -2 t , , e :

Passo 4

Agora, podemos substituir todas essas derivadas na fórmula da regra da cadeia para encontrar partial zpartial s = partial zpartial x cdot partial xpartial s + partial zpartial y cdot partial ypartial s e partial zpartial s = e^x y ( 12 raizx + y raizx ) cdot t + x raizx , e^x y cdot 2 s .
Para partial zpartial s = e^x y [ t ( 12 raizx + y raizx ) + 2 s x raizx ] :
partial zpartial t = partial zpartial x cdot partial xpartial t + partial zpartial y cdot partial ypartial t
Substituindo:
partial zpartial t = e^x y ( 12 raizx + y raizx ) cdot s + x raizx , e^x y cdot (-2 t)
Fatorando partial zpartial t = e^x y [ s ( 12 raizx + y raizx ) - 2 t x raizx ] :
Para :
Substituindo:
Fatorando :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial s = e^x y [ t ( 12 raizx + y raizx ) + 2 s x raizx ]
partial zpartial t = e^x y [ s ( 12 raizx + y raizx ) - 2 t x raizx ]

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